벡터 회로망 분석기의 시간 게이팅 불확도 분석

Ⅰ. 서 론

현대 마이크로파 및 밀리미터파 측정 기술에서 벡터 회로망 분석기(VNA, vector network analyzer)는 필수적인 장비로 자리 잡고 있다. 특히 VNA의 시간 영역(timedomain) 분석 기능 중 하나인 시간 게이팅(time-gating) 기법은 측정 대상물의 고유한 응답만을 추출하기 위해 광범위하게 활용되고 있다. 시간 게이팅은 역푸리에 변환(IFFT, inverse fast Fourier transform)을 통해 주파수 영역의 데이터를 시간 영역으로 변환한 뒤, 불필요한 다중 반사 성분이나 노이즈를 시간 필터링을 통해 제거하고 다시 주파수 영역으로 복원하는 방식이다.

이러한 기법은 다양한 정밀 측정 분야에서 그 유용성이 입증되었다. 대표적으로 안테나 측정 분야에서는 반사신호가 존재하는 환경에서 자유 공간 조건을 모사하여 안테나 이득을 정확히 산출하는 데 사용된다^[1]. 또한, 물질 상수 측정에서도 시편과 입사 포트 간의 불연속점에서 발생하는 원치 않는 반사 신호를 효과적으로 분리함으로써 재료의 유전율 및 투과율 측정 정밀도를 향상시키는 데 사용된다^[2].

그러나 시간 게이팅 기법의 광범위한 활용성에도 불구하고, 게이팅 프로세스 자체가 측정 결과에 미치는 불확도에 대한 체계적인 연구는 여전히 부족한 실정이다. 최근 참고문헌 [3]은 오픈 소스 파이썬 패키지를 활용하여 시간 게이팅이 적용된 측정값의 효율적인 불확도 평가 법을 제시하였다. 해당 연구는 게이팅 이후의 신호들에 대한 불확도를 수치적으로 계산하는 데 기여하였으나, 게이팅 과정에서 필수적으로 수반되는 윈도우 함수의 영향, 게이트 형상의 선택, 그리고 측정자가 설정하는 게이트 시간 폭 등에 의해 발생하는 불확도 성분들을 직접적으로 정량화하지 않았다는 한계를 지닌다.

따라서 본 연구에서는 상용 VNA 시스템에서 수행되는 시간 게이팅의 각 프로세스별로 발생하는 불확도 요인을 정의하고 이를 정량적으로 산출하고자 한다. 본 논문의 구성은 다음과 같다. Ⅱ장에서는 VNA의 시간 영역 데이터 처리 프로세스를 이론적으로 고찰한다. Ⅲ장에서는 pre-gate 윈도우, 카이저 윈도우 함수, 게이트 형상 및 시간 설정, 그리고 post-gate 정규화 등 각 단계에서 발생하는 개별 불확도 요인을 분석하고 계산한다. Ⅳ장에서는 이러한 개별 불확도 요인들을 합성하여 최종 불확도를 산출하고, 시간 게이팅의 신뢰성을 확보하기 위한 광대역 측정의 필요성을 논의하며 결론을 맺는다.

Ⅱ. VNA의 시간 게이팅 동작원리

그림 1은 본 연구에 사용된 상용 VNA(Keysight Technologies 사의 PNA)의 시간 게이팅 프로세스를 나타낸다^[4]. 우선 주파수 영역에서 측정된 결과인 data(f)를 시간 영역으로 변환한다. 이때 일반적인 역고속 푸리에 변환(IFFT) 대신 역처프-Z 변환(ICZT, inverse chirp-Z transform)을 수행한다. 등간격의 시간 범위를 생성하는 IFFT와 달리, ICZT는 원하는 특정 시간 범위만을 선택적으로 변환할 수 있어 효율적이기 때문이다.

그림 1. | Fig. 1. VNA의 시간 게이팅 프로세스 | Time gating process of VNA.

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시간 영역 변환 전, data(f)에는 Pre-TD 윈도우가 적용된다. VNA로 측정된 주파수 데이터는 특정 대역폭을 갖는 통과대역(pass-band) 신호이며, 대역 외 신호는 모두 0으로 간주된다. 따라서 주파수 영역에서의 직사각형 응답을 그대로 변환할 경우 시간 영역에서는 Sinc 함수 형태의 링잉(ringing) 현상이 발생한다. 통상 이를 억제하기 위해 주파수 양 끝단의 신호를 감쇠시키는 윈도우 함수를 적용하며, Keysight Technologies 사의 PNA의 경우는 β=6인 카이저(Kaiser) 윈도우를 사용한다.

시간 영역으로 변환된 data(t)를 기반으로 게이팅 영역과 형상을 설정한다. 표 1은 PNA의 게이트 형상에 따른 주요 특성을 정리한 것이며, 그림 2는 게이트 함수의 형태를 보여준다^[5]. 일반적으로 게이트의 시작점과 종료점은 통과 대역 대비 −6 dB 지점을 기준으로 설정하며, 통과 대역 내에는 허용 리플이 존재한다. 또한, 차단 시간(cutoff time)은 −6 dB 지점부터 첫 번째 부엽(sidelobe) 최댓값까지의 시간을 의미한다.

그림 2. | Fig. 2. VNA에서 제공되는 카이저 윈도우의 파라미터 설정 | Kaiser window parameter settings provided in VNA.

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시간 영역에서 필터가 결정되면, 이를 다시 주파수 영역의 필터로 변환하여 컨벌루션(convolution)을 수행한다. 이는 시간 영역에서 직접 연산하는 것보다 주파수 영역에서의 구현이 더 용이하기 때문이다. 이때 시간 영역 변환 시와 마찬가지로 링잉 억제를 위해 pre-gate 윈도우를 적용한다. PNA의 경우, pre-TD와 동일한 윈도우를 사용한다.

마지막으로, 컨벌루션 과정 중 필터가 주파수 대역의 양 끝단에 위치할 경우, 측정 데이터가 존재하지 않는 영역이 0으로 처리되어 약 6 dB의 크기 손실이 발생한다. 이를 방지하기 위해 post-gate 정규화 함수를 적용한다. 이는 단위 응답(unit response, 모든 값이 1인 신호)에 게이트 필터를 컨벌루션하여 발생하는 오차를 미리 산출한 뒤, 앞서 계산된 결과 값에 이를 나누어 정규화하는 과정이다^[6].

R&S VNA의 경우, pre-gate 윈도우를 사용하지 않으며, 게이트 함수로 rectangular, hamming, hann, boham 윈도우를 사용하며, 동일한 post-gate를 사용한다^[4].

이와 같이 시간 게이팅은 주파수 영역과 시간 영역을 넘나드는 복합적인 과정을 거친다. 이 과정에서 적용되는 각 윈도우 함수의 특성, 정규화 방식 등 각 개별 프로세스는 결과값에 영향을 미치는 주요한 불확도 발생 요인이 된다.

Ⅲ. 프로세스별 시간 게이팅 불확도 분석

앞서 살펴본 바와 같이 시간 게이팅의 각 프로세스 단계별로 불확도가 발생되므로, 본 절에서는 이를 정량적으로 분석한다. 불확도 분석에 사용된 측정값은 물질상수측정키트(MCK, material characterization kit)를 이용해 측정한 평판 유전체의 산란계수이며, TRL 교정을 이용해 보정되었다^[7].

3-1 Pre-Gate 윈도우

측정된 산란계수의 링잉 효과를 억제하기 위해 적용된 윈도우 함수의 영향을 분석하였다. 분석을 위해 pre-gate 적용 전후의 측정값을 비교하였으며, 그 결과는 그림 3의 크기 및 위상 그래프와 같다. 위상 그래프는 비교가 용이하도록 pre-gate 적용 결과를 기준으로 정규화하여 나타내었다.

그림 3. | Fig. 3. Pre-gate 적용 유무에 따른 산란 계수 측정 결과 비교 | Comparison of measured scattering coefficients with and without pre-gate.

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TRL 측정 결과에서 높은 수준의 노이즈는 시간 게이팅을 거치며 크게 감소하였으며, pre-gate 미적용 시 대역 양 끝단에서 발생하는 링잉 효과를 확인하였다. 따라서 본 연구에서는 pre-gate 적용 전후의 측정값 차이를 해당 프로세스의 측정불확도로 적용하였다.

3-2 카이저 윈도우

VNA에서 시간 게이팅 시 주로 사용되는 카이저 윈도우는 이상적인 brick-wall 윈도우 적용 시 발생하는 링잉 효과를 억제하기 위해 채택된 함수이다. 해당 윈도우는 표 1과 같이 설계된 사이드로브 레벨과 통과대역 리플, 차단 시간 특성을 가지며, 이는 측정 결과에 일정한 영향을 미치게 된다.

본 연구에서는 VNA 내부 프로세스에서 발생하는 불확도를 정량화하기 위해, 그림 4와 같이 이상적인 필터인 brick-wall 윈도우와 VNA에 적용된 카이저 윈도우 간의 응답 차이를 산출하였다. 이 계산된 편차를 카이저 윈도우에 의한 측정불확도로 산정하여 반영하였다.

그림 4. | Fig. 4. 이상적인 brick-wall 윈도우와 카이저 윈도우의 응답 차이 분석 | Analysis of response deviation between an ideal brick-wall window and a Kaiser window.

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3-3 게이트 형태

Keysight Technologies 사의 PNA는 측정 목적에 따라 적용되는 게이트의 형상을 표 1과 같이 네 가지 유형으로 구분하여 제공한다. 각 게이트 형상은 고유한 통과대역 특성을 지니므로, 선택한 게이트의 종류에 따라 측정 결과에 변동성이 발생할 수 있다.

이러한 게이트 형상에 기인한 불확도를 산출하기 위해, 모든 게이트 유형을 각각 적용하여 측정 결과를 계산하고 그 비교치를 그림 5에 나타내었다. 분석 결과, 게이트 형상별로 측정 응답에서 미세한 차이가 발생하는 것을 확인하였으며, 본 연구에서는 이러한 응답 간의 최대 편차를 게이트 형상에 따른 측정불확도로 정의하여 반영하였다.

그림 5. | Fig. 5. 게이트 형상 유형에 따른 측정 결과의 편차 | Deviations in measurement results according to gate shape types.

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3-4 게이트 폭

시간 게이팅 과정에서 가장 핵심적인 변수는 게이트 폭의 설정이며, 이는 측정자의 판단에 의존하는 경향이 크기 때문에 측정 결과의 가변성을 초래하는 주요 요인이 된다. 본 연구에서는 게이트 폭 설정 범위에 따른 민감도를 정량화하기 위해, 시간 설정을 가변하며 측정값의 변화를 관측하는 방식으로 불확도를 산출하였다. 기본 게이트 폭의 범위를 1 ns(−0.5~0.5 ns)로 설정한 후, 분석을 위해 이를 0.6 ns에서 1.6 ns까지 단계적으로 변화시켰다. 그림 6은 게이트 폭 변화에 따른 측정 결과를 나타내며, 해당 불확도는 다른 불확도 항목들에 비해 상대적으로 높은 기여도를 보임을 확인하였다. 따라서 본 연구에서는 이러한 시간 설정 변화에 따른 응답의 편차를 게이트 폭 불확도로 반영하였다.

그림 6. | Fig. 6. 게이트 폭(width) 변화에 따른 측정 응답의 가변성 분석 | Variability analysis of measurement responses according to changes in gate width.

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3-5 Post-Gate 정규화

마지막으로 post-gate 정규화 과정에서 발생하는 불확도를 산출하였다. Post-gate는 컨벌루션 연산 시 대역 양 끝단에서 발생하는 6 dB 감쇄를 보상하기 위해 단위 응답 특성을 이용하는 과정이다. 따라서 측정 데이터가 전 주파수 대역에서 평탄하지 않을 경우, post-gate 적용 과정에서 오차가 발생할 수 있다. 이를 방지하는 가장 일반적인 방법은 필요 대역보다 넓은 주파수 범위를 측정하여 감쇄 구간을 대역 외로 이동시키는 것이나, 본 연구와 같이 도파관을 사용하는 대역 제한 환경에서는 적용에 한계가 있다. 이를 보완하기 위해 대역 외 특성을 모델링하여 확장하는 방식을 채택하였다^[8]. 일반적으로 사용되는 벡터 피팅(vector fitting) 기법은 본 측정값과 같이 변동이 심한 응답에는 적용이 어려우므로, 본 연구에서는 다음과 같은 식 (1)을 도입하여 모델링을 수행하였다.

$$y\left(f\right)=\left(a_{1}f+a_2\right)\cos \left(a_{3}2\pi f+a_4\right)+a_{5}f+a_6$$

(1)

여기서 a₁과 a₂는 주파수에 따른 크기 감쇄량을, a₃과 a₄는 응답의 주기와 위상을 결정하며, a₅와 a₆은 전체적인 기울기와 상수항을 나타낸다. 그림 7(a)에서 확인되듯이, 제안된 식은 측정 데이터와 잘 일치하며 대역 외에서도 벡터 피팅과 달리 주파수에 따른 변동특성을 효과적으로 모사하고 있다. 다만, 본 수학적 모델은 주파수에 따라 응답이 변동하고 감쇠가 비교적 작게 발생하는 경우에 최적화되어 있어, 다양한 응답 특성을 일반화하여 모델링하기에는 한계가 있다.

그림 7. | Fig. 7. Post-gate 정규화에 의한 불확도 분석 | Analysis of post-gate normalization effects.

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Post-gate 정규화의 유효성을 검증하기 위해, 원래의 측정 대역(110~170 GHz)에서 수행한 시간 게이팅 결과와 측정 구간을 70~210 GHz로 확장하여 감쇄 효과를 대역 외로 천이시킨 결과를 비교 분석하였다. 그림 7(b)에 제시된 두 결과 사이의 편차를 post-gate 정규화에 따른 측정불확도로 산출하였다.

또한 S₁₁의 측정결과에 대해서도 동일한 시간 게이팅 프로세스별 불확도 분석을 수행하였으며, 그 결과 S₂₁과 유사한 불확도 특성이 나타남을 확인하였다.

Ⅳ. 시간 게이팅 측정의 합성불확도

그림 8은 앞서 분석한 각 프로세스별 측정불확도 기여도를 나타낸다. 본 연구의 분석을 통해 게이트 폭이 가장 지배적인 불확도 요인임을 확인하였다. 이는 게이트 폭의 설정이 필터의 차단 특성과 직결되며, 제거하고자 하는 불요 신호가 원하는 신호와 인접할수록 게이트 폭 설정에 따른 오차가 민감하게 발생하기 때문이다. 따라서 실제 측정 시 게이트 폭 최적화를 위해서는 시간 영역 응답에서 주 신호의 메인 로브(main-lobe)가 충분히 포함되도록 폭을 설정하되, 게이트의 끝단이 인접한 불요 신호의 시작점과 최소한 필터의 차단 시간 이상의 간격을 유지해야 한다. 만약 신호 간 거리가 충분치 않아 게이트 폭을 좁게 설정해야 하는 경우에는, 본 논문에서 분석된 바와 같이 불확도가 증가할 수 있음을 고려하여야 한다. 또한, post-gate 불확도의 경우 분석 대역을 실제 요구되는 범위보다 넓게 설정하여 측정함으로써 상당 부분 억제할 수 있다는 점에 주목해야 한다.

그림 8. | Fig. 8. 시간 게이팅 프로세스별 개별 불확도 기여도 | Individual uncertainty contributions for each time gating process.

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그림 9는 개별 불확도 요인들을 결합한 불확도(k=2, 95 % 신뢰의 수준)를 보여준다. 본 결과는 단순히 시간 게이팅을 통해 불요 신호를 제거하는 것에 그치지 않고, 게이팅 프로세스들의 측정불확도를 산출해야 함을 시사한다. 특히 주파수 대역의 양 끝단에서는 post-gate 불확도와 다양한 링잉 효과가 중첩되어 불확도가 급격히 증가하는 경향을 보인다. 따라서 시간 게이팅에 의한 불확도를 효과적으로 저감하기 위해서는 요구 대역폭 이상의 광대역 측정이 필요하다.

그림 9. | Fig. 9. 시간 게이팅에 의한 프로세스별 측정불확도 합성결과 | Combined uncertainty results for each process by time gating.

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Ⅴ. 결 론

본 연구에서는 상용 VNA의 시간 게이팅 프로세스에서 발생하는 단계별 측정불확도를 정량적으로 분석하였다. 분석 결과, 전체 불확도에 가장 지배적인 영향을 미치는 요인은 게이트 폭 설정으로 확인되었으며, 이는 측정 결과의 신뢰성 확보를 위해 측정자의 세밀한 분석과 주의 깊은 설정이 중요함을 시사한다.

또한, 시간 게이팅을 구성하는 각 프로세스들의 불확도 성분들을 규명하였으며, 이를 측정불확도 평가에 포함해야 함을 보였다. 특히, 시간 게이팅에 의한 불확도를 최소화하기 위해서는 실제 요구되는 대역폭 이상의 광대역 데이터를 취득하는 것이 유효한 방안임을 확인하였다.

본 연구에서 제안한 시간 게이팅 불확도 분석법의 범용성을 검증하고자, R&S 사의 VNA의 알고리즘을 추가로 분석하였다. 각 제조사마다 pre-gate 처리 유무나 지원하는 윈도우 함수의 종류 등 세부 구현 방식에서 차이가 존재함을 확인하였으나, 이러한 장비 고유의 특성을 모델에 적절히 반영함으로써 시간 게이팅의 불확도를 산출할 수 있음을 확인하였다.