대형 디지털 배열의 현장 보정을 위한 두 개의 프로브를 활용한 위치 추정기법 분석

Ⅰ. 서 론

우주 감시 레이다 시스템은 높은 EIRP와 광각 빔조향 성능을 위해 대형 능동 위상 배열안테나를 사용하며 해당 시스템은 운용 상황에 대한 주기적인 현장 보정이 필요하다^[1],[2]. 그리고 일반적인 보정 과정에는 보정에 사용할 프로브의 정확한 위치 정보가 필요하다^[3]. 특히 현장에서 프로브 위치를 추정하는 방법 중 보정할 배열 안테나와 외부 프로브 2개의 위상 차이를 형성하면 배열 소자의 채널 내부 회로에서 발생하는 오차를 제외할 수 있으므로 배열과 프로브 사이의 커플링 위상만으로 프로브 위치 추정을 진행할 수 있다^[4]. 해당 방식은 별도의 외부 정렬 장치가 필요하지 않기 때문에 비용과 인프라 측면에서 효율적이다. 다만 기존의 문헌은 적용 조건 및 성능에 대한 설명이 제한적이다. 따라서 본 논문에서는 해당 위치 추정 방식의 유효성을 확인하기 위해 적용 조건 및 성능을 이론적인 수식과 시뮬레이션을 통해 분석하였다.

Ⅱ. 위치 추정에 대한 이론적 모델 정리

2개의 프로브를 사용하여 프로브 위치를 추정하는 방식의 과정을 정리한다. n번째 소자와 첫번째 프로브 간 변위 벡터를 r_n,1 라고 하자. 이때 첫 번째 프로브에 대한 n번째 소자에서 위상 Γ_n,1을 거리 r_n,1 에 따른 영향과 n번째 채널 내부 회로에 의한 영향 S_21,n로 나누어 식 (1)처럼 정리할 수 있다^[4]. 수식의 f는 시스템 사용 주파수이며 k는 사용 파수이다. 이후 채널 내부 회로에 의한 영향을 없애기 위해 두번째 프로브에 대해 얻은 위상 Γ_n,2을 이용하면 n번째 소자에서 형성되는 프로브 1번과 2번에 대한 위상 차이값 p_i을 식 (2)처럼 수식화가 가능하다.

프로브의 위치에 따라 r_n,1, r_n,2 값이 변하면 p_n 값이 영향을 받는다. 추정 과정은 프로브의 위치를 변화시키며 p_n 값의 변화를 확인하는 과정이므로 r_n,1 및 r_n,2 에 대한 p_n 의 값의 변화율, 즉 자코비안 값을 분석하여 해당 모델의 추정 성능을 평가할 수 있다. 자코비안을 구성하기 위해서 식 (2)의 지수 함수 내부의 거리에 대해 그라디언트를 각각 취하면 식 (3) 및 식 (4)의 식을 확보할 수 있으며 결과적으로 식 (5)처럼 자코비안 행렬 식 J를 정리할 수 있다.

x₁,y₁,z₁은 첫 번째 프로브의 좌표 성분, x₂,y₂,z₂는 두 번째 프로브의 좌표 성분으로 J는 N×6의 크기를 갖는다. 여기서 N은 배열 안테나의 전체 소자 수를 의미한다.

해당 자코비안 행렬의 특성을 분석하기 위해서 특이값 분해를 진행하였고 그 과정을 식 (6)에 나타내었다.

이때 U는 N×N 크기의 위상 차이 값에 대한 벡터 공간을 형성하며 V는 6×6 크기의 프로브 위치 파라미터에 대한 벡터 공간을 의미한다. S는 두 벡터 공간의 특이값에 대한 대각 행렬이고 rank 6을 가진다. 일반적으로 특이값 행렬의 각 요소에 대한 1/s_i의 값이 작고 균일할수록 추정 성능이 높다. 따라서 특이값 행렬의 조건수 σ와 1/s_i의 합산값 A를 해당 모델을 평가하기 위한 두 가지 지표로써 활용하였다. 해당 평가지표의 값이 작을수록 위치 추정에 대한 정확도가 높다. 각 지표에 대한 표현은 아래 식 (7) 및 식 (8)을 통해 확인할 수 있다.

이후 해당 지표를 활용하여 추정 성능을 평가하였다. 0.5 λ 간격의 패치 안테나를 12×12 직각 격자로 구성하여 축별로 6 λ의 길이를 가지는 시험 대상 안테나(AUT)를 구성하였다. 배열 안테나로 개별 성능평가를 명료하게 진행하기 위해 그림 1과 같이 두 개의 프로브가 배열의 중심에 대칭인 경우를 확인했다. 이때 사용한 프로브는 구면파에 가까운 위상 패턴을 형성한다.

그림 1. | Fig. 1. 추정 성능 분석을 위한 대칭 상황 | Symmetric setup for probe position estimation.

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배열의 중심부터 프로브까지의 거리 D를 1 λ부터 50 λ까지 변화시키고 프로브와 z축 사이각 θ를 10°부터 60°까지 변화시켰을 때 추정 성능의 평가지표 σ와 A의 경향성을 그림 2에 나타내었다. 지표 값에 대한 스케일은 dB 값으로 나타내었다. 해당 결과를 통해 두 프로브가 측정 배열 안테나에 가깝게 위치하고 두 프로브가 이루는 사이 각이 클수록 이론적 모델이 안정적으로 동작한다고 볼 수 있다.

그림 2. | Fig. 2. D와 θ에 따른 지표 변화 | Performance versus probe distance and angle.

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Ⅲ. 시뮬레이션을 활용한 검증 및 오차 분석

해당 위치 추정 방식을 사용하더라도 일정 수준의 위치 오차가 발생한다^[4]. 실질적인 오차 원인을 분석하기 위해서 앞서 그림 1과 동일한 상황을 설정하고 프로브 거리가 5, 10, 15 λ일 때 각각 프로브 사이 각도가 10°, 20°, 30°, 40°인 경우에 대해 결과를 확인하였다. 추정 과정에는 가우스 뉴턴 법을 사용하였다. 그리고 메타휴리스틱 알고리즘 중 성능이 우수한 LSHADE 기반 알고리즘으로 전역 최적 해에 대한 추가 검증을 하였다^[5]. 추정 과정은 실제 위치의 ±5 λ 범위에서 진행하였다. 가우스 뉴턴 법과 LSHADE 알고리즘을 통해 구한 결과는 동일했으며 추정 오차를 표 1에 정리하였다. 오차 결과는 실제 프로브 위치에 대한 축별 오차를 파장당 길이로 나타내었다.

해당 결과를 확인하면 앞서 그림 2의 경향성과 완전히 일치하지는 않는 것을 확인할 수 있다. 추정 과정에는 소자 간 간섭을 포함한 실제 공간에서 다양한 잡음이 발생하지만^[3] 분석한 수식적 모델에서는 해당 공간 잡음 요소를 포함하지 않기 때문이다. 해당 영향성 파악을 위해 실제 이상적인 위치에 대한 전체 위상 차분 값 벡터 P′과 시뮬레이션에서 발생한 위상 차분 값 벡터 P 에 대한 차이 r_o를 공간 잡음에 대한 영향으로 보고 추가적인 분석을 진행하였다. 해당 값은 식 (9)에서 확인할 수 있다.

식 (9)의 r_o를 행렬 U^T와 곱연산하면 프로브 위치에 영향을 줄 수 있는 성분 α를 식 (10)과 같이 얻을 수 있다.

앞서 A와 동일한 수준에서 비교하기 위해 α를 앞서 구한 특이값에 대한 비율로 나타낸 뒤 합산하여 오차 비율 지표 E를 식 (11)과 같이 확보하였다. 이때 시스템의 rank가 6이므로 α는 상위 6개의 성분만 활용한다.

표 2에서 해당 지표를 포함한 전체 결과를 확인할 수 있다. A만 보면 추정 오차 최댓값과 A의 경향성이 동일하지 않다. A는 수식적 모델에 대한 성능만 나타내며 상관잡음을 고려하지 못하기 때문이다. 대신 앞서 분석한 상관 잡음에 대한 지표 E를 추가로 고려하면 동일한 경향성을 확인할 수 있다. 이때 E는 A를 구할 때 활용한 특이값의 비율로 형성하였기 때문에 A+E를 전체 평가지표로 활용하였다. A+E를 확인할 경우 추정 오차 최댓값과 경향성이 일치하는 것을 확인할 수 있다. 결과적으로 프로브가 배열에 근접하고 두 프로브의 사이각이 클수록 추정 성능이 좋다는 사실은 유효하지만 상관 잡음이 발생하여 위치 추정 오차가 발생한다고 볼 수 있다.

Ⅳ. 결 론

본 논문은 2개의 프로브를 사용하는 위치 추정 기법에서 프로브의 배치에 따른 위치 추정 성능 변화를 분석하고 시뮬레이션을 통해 분석하였다. 수식적 모델을 통해 프로브가 배열에 가깝고 두 프로브 간의 사이각이 클수록 추정 모델의 성능이 좋다는 사실을 조건수와 지표 A의 변화 결과를 통해 확인하였고 시뮬레이션 결과에서도 전반적으로 유효함을 확인했다. 다만 상관잡음의 영향으로 일부 조건에서 큰 오차가 발생하였다. 특히 시뮬레이션 결과에서 측정 배열 길이와 유사한 프로브 이격 거리를 유지하고 상관 잡음이 적을 경우 0.02 λ 오차 수준의 위치 추정 결과를 확인할 수 있었다. 결과적으로 해당 방식을 실제 환경에 적용하기 위해서는 정밀한 위치 추정을 위해서 프로브를 측정 배열에 근접시키며 시스템의 안정성을 위한 상관 잡음 억제가 수반되어야 할 것이다.