위상 시계열 마이크로 도플러 분석을 이용한 Dwell 모드 위성 SAR 기반 교량 고유진동수 추정

위성 SAR 운용에서 Dwell 모드는 안테나 빔의 지향 각도를 정밀하게 제어함으로써, 특정 관심 영역을 장시간 지속적으로 조사(staring)하는 고도화된 운용 방식이다^[6]. 해당 기법은 일반적인 spotlight 모드 대비 극대화된 관측 시간(dwell time)을 확보할 수 있어, 구조물의 미세 진동에 의해 유도되는 마이크로 도플러를 정밀하게 분석하기 위한 장시간의 복소 신호 획득이 가능하다^[7].

SAR 데이터에서 마이크로 도플러 성분을 추출하기 위한 여러 접근 방식이 존재하지만, 본 연구에서는 공간적 식별과 시간적 분석을 동시에 수행하기 위해 하위 개구 영상화를 통한 복소 영상 시계열 구성 방식을 채택하였다. 이는 수집된 전체 관측 데이터(full-aperture)를 관측 시간에 따라 일정한 시간 간격을 갖는 하위 구간들로 분할하고, 각 구간에 대해 개별적인 복소 영상을 생성하는 방식이다. 이 과정에서 각 하위 개구 영상은 시계열 샘플 역할을 수행하며, 영상 간의 시간적 간격은 진동 분석 과정에서 시간 해상도를 결정하게 된다.

본 연구에서는 특정 관심 영역에 대한 국부적 영상화로 연산 효율을 높일 수 있고, 데이터 부분 집합의 독립적 처리가 가능하여 하위 개구 시계열 구성에 유연성을 제공하는 후방 투영 알고리즘(BPA)을 영상 형성에 적용하였다. 그림 1은 하위 개구 영상화를 통해 관측 시간 순서에 따라 중첩된 하위 개구 구간으로부터 복소 SAR 영상 시계열을 구성하는 개념을 도식적으로 보인다.

그림 1. | Fig. 1. 하위 개구 SAR 영상화 개념도 | Concept of sub-aperture SAR imaging.

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복소 영상 시계열로부터 교량의 고유진동수를 추정하기 위해, 먼저 영상 내 주요 산란체들을 활용하여 시계열 영상 간 서브 픽셀 단위의 정합을 수행한다. 이를 통해 영상 형성 과정에서 누적될 수 있는 시계열 영상 간 정합 오차를 보정하여, 동일 산란체에 대한 위상 시계열을 안정적으로 추출할 수 있도록 한다.

이후 교량 고유진동수 추정을 위해 교량 상판의 진동 특성을 대표하는 산란체들을 분석 대상으로 선정하며, 정합이 완료된 복소 영상 시계열의 특정 시간 축에 해당하는 k번째 프레임에서, 특정 산란체 위치 r=(x,y)의 신호는 식 (1)과 같이 표현될 수 있다.

여기서 A_k (r)는 진폭 성분이며, φ_k (r)는 해당 시점에서의 위상 성분으로 구조물의 미세 변위와 직접적인 상관관계를 가진다. 레이다와 산란체 사이의 거리가 진동에 의해 미세하게 변화하면, 수신 신호의 위상은 해당 거리 변화에 비례하여 변조된다. 이는 레이다 파장(λ)과 산란체와의 유효 거리(R_k)를 이용해 식 (2)와 같이 표현될 수 있다.

따라서 교량의 미세 진동은 마이크로 도플러 효과로 해석될 수 있으며, 이는 위상 시계열 내의 주기적인 변화로 기록되어 진동 주파수 식별의 기반이 된다.

다만 기하 정합을 통해 동일 산란체에 대한 공간적 일관성을 확보하였더라도, 실제 위상 시계열 φ_k (r)에는 교량의 진동에 의한 마이크로 도플러 성분 외에도 미세 궤도 오차, 대기 지연 변화 등에 기인한 잔여 위상 오차가 포함될 수 있다. 이를 정밀하게 분석하기 위해 위상 성분을 다음과 같이 분해하여 모델링하였다.

여기서 ${\varphi }_k^{vib}(r)$는 교량 진동에 의한 위상 변화량이며, ${\varphi }_k^{\text{trend }}(r)$는 잔여 위상 오차로 인한 저차(low-order) 추세 성분, n_k (r)는 잔차 및 잡음을 의미한다.

본 연구에서는 앞서 선정된 다중 산란체의 위상 변화에 대한 공통적인 위상 추세 성분을 저차 다항식으로 근사하였다. 이러한 다중 산란체 기반의 추세 제거는 개별 산란체의 국부적 잡음을 효과적으로 억제하며, 결과적으로 정밀한 진동 분석을 수행하기 위한 강건한 위상 기준점을 확보하게 한다. 이렇게 보정된 위상 시계열 함수를 $\widetilde{{\varphi }_k}(r)$로 정의한다. 보정된 위상 함수의 고유진동수를 추정하기 위해 Welch PSD(power spectral density) 분석을 적용하였다. Welch 방법은 시계열 신호의 구간별 평균화를 통해 스펙트럼의 분산을 감소시킴으로써, 잡음 환경에서도 고유진동수를 안정적으로 식별할 수 있게 한다. 최종적으로 단일 산란체 분석의 민감도를 극복하고 결과의 신뢰성을 확보하기 위해, 선정된 다중 산란체의 스펙트럼을 평균 결합(stacking)함으로써 교량의 고유진동수를 도출하였다.

본 연구에서 제안하는 교량 고유진동수 분석을 위한 전체 분석 절차는 그림 2와 같다.

그림 2. | Fig. 2. 하위 개구 영상 기반 고유진동수 추정 흐름도 | Flowchart of natural frequency estimation based on sub-aperture images.

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본 연구의 제안 기법을 검증하기 위해 충청남도 아산시에 위치한 갈매교를 대상으로 실증 분석을 수행하였다. 지상 계측 데이터와의 비교 검증을 위해 교량 상판의 주요 지점에 총 6개소의 가속도계를 설치하였으며, 100 Hz의 샘플링 주파수로 데이터를 취득하였다. 이때 분석을 위해 가속도계 설치 위치를 기준으로 SAR 영상 내 교량 상판의 산란 특성이 우수한 지점들을 선별하여 분석에 활용하였다.

제안 기법의 검증을 위한 SAR 데이터는 ICEYE 위성의 X-band dwell 모드 데이터를 사용하였다. 그림 3은 실증 지역의 광학 영상과 SAR 영상을 보이며, 교량 상판 내 설치된 가속도계 사진과 위치를 분석에 사용된 관심 영역을 함께 표시하였다. 구체적인 SAR 시스템 및 분석 파라미터는 표 1과 같다.

그림 3. | Fig. 3. 실증 지역 및 관심 영역(ROI) | Test site and region of interest (ROI).

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하위 개구 영상 간 시간 간격은 식 (4)와 같이 정의된다.

표 1의 값을 적용하면 Δt≈0.0107 s로 계산되며, 이는 일반적인 교량의 최대 고유진동수 대역보다 충분히 큰 관측 주파수를 제공할 수 있다. 또한 측정 가능한 주파수 분해능은 관측 시간 T_obs에 반비례한 값을 갖는다.

제안 기법의 검증을 위해, 동일한 시간대에 확보된 데이터를 기반으로 비교 분석을 수행하였다. 그림 2의 과정을 통해 도출된 교량의 고유진동수 결과는 그림 4와 같으며, 이때 각 결과를 최대치 정규화하여 주파수 영역에서의 일치 여부를 확인하였다.

그림 4. | Fig. 4. 고유진동수 비교 결과 | Comparison of natural frequency results.

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분석 결과, 6개 지점의 가속도계 데이터를 평균한 기준 고유진동수는 2.80 Hz로 식별되었으며, 제안 기법을 통해 추정된 값은 2.76 Hz로 나타났다. 이는 교량 실측 데이터에서 지배적으로 나타나는 고유진동수에 대해 동일한 주파수 특성을 식별했음을 보여주며, 지상 계측 데이터와 제안 기법의 높은 일치성을 입증한다.

다만, 본 연구의 분석 과정에서 제안 기법은 응답 크기가 작은 모드에 해당하는 고유진동수에 대해서는 식별이 제한적이라는 한계가 존재하였다. 이는 미세 고주파 진동 성분을 분리하기 위한 주파수 해상도의 제약 및 시스템 잡음 등에 기인한 것으로 보이며, 향후 연구를 통해 고차 모드 검출 가능성을 확인하고자 한다.