시스템 구현 용이성을 위한 위상변조코드의 위상 양자화 효과 분석

Ⅰ. 서 론

레이다에서 사용하는 파형의 변조 방식은 크게 주파수 변조 방식과 위상 변조 방식이 있다^[1]. 주파수 변조방식은 모호성 함수에서도 나타나는 바와 같이 표적의 속도에 의한 도플러 천이가 있거나, 거리 정합 위치에서 벗어나더라도 일정이상의 파워 레벨을 유지하여 탐지가 용이 하다. 따라서 이 변조방식은 탐색 레이다의 파형으로 가장 많이 사용되고 있으며, 주로 주파수를 선형적으로 증가시키는 방식으로 구현도 용이한 편이다. 반면, 위상 변조 파형은 주파수 변조 파형에 비해 속도나 거리가 정합 위치에서 벗어나는 경우 파워가 급격히 낮아져서, 탐지에 취약해 진다. 따라서 위상 변조 파형은 주로 거리나 속도가 어느 정도 예측되는 추적 상황에 더 많이 사용되는 편이다.

그러나 위상 변조 파형은 자기상관도(auto correlation)의 부엽 레벨이 비교적 낮음으로 인해 탐지 정확도가 높고, 탐지가 어려워 전자전, 특히 기만 재밍에 매우 강한 장점을 가지고 있다^[2]. 뿐만 아니라, 변조 파형간의 상호 상관도(cross correlation)를 낮추는 설계가 가능하여, 동일 대역에서 사용되는 다수의 레이다 또는 다중 입출력(multi input multi output: MIMO) 레이다에 사용되어 스펙트럼의 효율을 높이는 데에 적절한 변조 방식이다^[3].

상호 상관도를 낮추는 다중 송신 파형을 설계하는 방법은 적절한 목적함수를 정의하고, 수학적인 전개를 통해 최적화된 식을 찾아가는 방법과 해의 집합을 정하고 수치적 탐색(numerical search)을 통해 해를 찾아가는 방법이 있으며, 수치적인 탐색방법으로 유전 알고리즘(genetic algorithm)^[4], 강화 학습법(simulated annealing) 등이 알려져 있다^[3].

본 논문은 목적 함수를 자기 상관도의 부엽과 상호상관도 전체 에너지 합으로 정의하고, 이를 최소화하는 위상 변조 코드를 반복적인 방법을 통해 찾는 CAN(cyclic algorithm new) 알고리즘^[5]∼^[7]을 기반으로 위상변조 파형의 구현을 용이하게 하기 위해 사용하는 위상 값을 제한하는 방식을 제안하였으며, 제한에 따른 성능 손실을 분석하였다.

논문은 다음과 같이 구성되었다. 2장에서는 CAN 알고리즘을 요약하고, 최적화된 코드의 성능을 보였다. 3장에서는 위상 값의 제한하는 방식을 추가하여 알고리즘을 수정 제안하고, 위상 값 제한에 따른 성능변수의 변화를 제시하였다. 마지막으로 결론을 4장에 정리하였다.

Ⅱ. CAN 코드의 설계

CAN(cyclic algorithm new) 또는 CA-New라고 불리는 알고리즘은 MIMO 레이다의 파형설계를 위해 Stoica 등의 의해 제안된 방법으로, 고정된 진폭(amplitude)을 가지는 위상 변조 코드를 설계하는 방법이다^[5].

최적화 목적 함수는 아래와 같이 자기상관도의 부엽과 상호상관도의 에너지 합으로 아래와 같이 정의한다.

여기서, N은 코드의 수이고, L은 필요한 코드셋의 수, δn은 Kronecker delta 함수, I_L는 L차원의 단위행렬이다.

R_n은 시간지연(time lag) n에서의 파형의 공분산 행렬(covariance)로 아래와 같이 표현된다.

여기서 x_i는 길이 N의 코드로 구성된 열벡터이다. Parseval-type equality를 이용하면 식 (1)은 아래와 같이 쓸 수 있다.

식 (6)은 X 행렬의 스페트럼 밀도(spectral density)이다.

아래와 같이 $\tilde{\text{X}}$를 정의하면 $\tilde{\text{X}}$의 FFT인 행렬 T를 2N×2N 크기의 FFT 행렬 F_2N에 의해 아래와 같이 쓸 수 있다.

또한 t_p^T를 T의 p번째 행이라고 하면 식 (6)은 아래 식 (9)와 같이 쓸 수 있고, 목적 함수인 식 (5)는 식 (10)과 같이 변경된다.

여기서, ‖·‖_F는 행렬의 프로베니우스 놈(Frobenius norm)이다.

식 (10)은 행렬 X에 대한 2차(quadratic) 함수이므로, 최적화된 명시적(explicit) 해를 구하기 어렵다. 따라서 참고문헌[5]에서 이와 거의 동일한 충분조건으로 아래와 같은 최적화 문제를 정의하였다.

subject to :

추가로 행렬 V를 아래와 같이 정의하면,

식 (11)은 식 (13)과 같이 쓸 수 있으므로, 이로부터 식 (11)의 해를 구하는 CAN 알고리즘은 $\tilde{\text{X}}$로부터 V를, V로부터 $\tilde{\text{X}}$를 순차적인 업데이트하는 방식으로 구성된다. 먼저, 주어진 $\tilde{\text{X}}$으로부터 식 (13)을 최소화하는 α_p는 아래와 같이 구한다.

여기서, $c_P^T$는 $\left({\text{F}}_{2N}\tilde{\text{X}}\right)$의 p번째 행이다. 반대로, 주어진 V로부터 X는 아래와 같이 구한다.

여기서, d_mn는 $\left({\text{F}}_{2N}^H\text{V}\right)$의 (n, m) 번째 요소이다. 이를 정리하면 아래 표 1과 같은 CAN 알고리즘이 되며, 종료 조건은 반복에 의해 X 벡터가 더 이상 변하지 않는 것이다.

CAN 알고리즘은 FFT와 IFFT로 구성되어 있기 때문에, 위상 코드를 최적화하는 다른 알고리즘에 비해 상당히 빠른 편이며, 10만 개의 길이를 가진 10개 정도의 코드셋에 대하여 까지도 일반 개인 컴퓨터(PC)에서도 쉽게 최적화할 수 있다^[7].

알고리즘을 따라 256개의 무작위 바이너리 코드와 1,024개의 무작위 위상코드에 대해 각각 부엽 레벨의 최적화를 수행한 결과를 아래 그림 1, 2에서 보였다. 최적화 수행시 알고리즘의 멈춤값 ϵ은 10⁻⁴을 사용하였다. 최적화된 코드의 부엽 레벨은 최대치 주변에서 낮은 형태를 보이며, 먼 쪽에 피크를 가지는 경향이 있다. 또한, 부엽 파워는 ISLR(integrated sidelobe ratio), PSLR(peak sidelobe ratio) 모두 10 dB 이상의 개선됨을 확인할 수 있으며, 무작위 파형에 비해 이는 대략적으로 코드 길이가 10배 정도 짧아질 수 있음을 의미한다. 최적화된 코드는 초기 코드와 상관없이 위상 코드이다.

Ⅲ. 제한된 위상값을 사용한 알고리즘

위상코드의 생성은 그 자체로도 구현이 쉽지 않으나, CAN 알고리즘의 최적화 결과로 생성된 변조 위상은 어떤 실수값이라도 가질 수 있고, 코드의 길이만큼 서로 다른 값을 가질 수도 있어서 어려움을 더하고 있다. 따라서 사용하는 위상의 수를 줄임으로써 구현에 용이성을 더하고자 한다.

위상 제약을 위해서 표 1의 CAN 알고리즘에서 Step 2와 Step 3의 종료 조건 비교 사이에 아래와 같은 위상 제약(quantization)을 추가하여 설계 과정을 수정하였다.

여기서 arg  X 는 행렬 X의 각 요소의 위상각 행렬, round는 가장 가까운 정수이며, Q는 제약 단위각이다.

그림 2의 1,024 랜덤 위상코드에 대해 위상 제약을 추가하여 최적화를 수행해 보았다. 그림 3은 사용된 위상과 빈도수를 보여주고 있으며, 보여지는 바와 같이 위상 제약은 20도이다.

최적화된 코드는 원래 코드에 비해 여전히 ISLR과 PSLR이 각 6.2 dB, 7.63 dB 개선된 결과를 보이나, 위상 제약이 없는 경우에 비해서는 각각 ISLR 6.12 dB, PSLR 4.87 dB 정도의 성능 손실이 생겼음을 그림 4에서 확인할 수 있다.

위상각의 제약 단위(Q)를 증가시키면서, 앞의 256 길이의 바이너리 코드, 1,024 길이 위상 코드, 그리고 무작위 4,096 길이 코드를 추가로 최적화를 수행해 보았다. 그림 5는 위상각의 제약 단위에 따른 최적화 코드의 ISLR 개선 정도를 나타낸다. 위상각의 제약 단위가 커질수록 성능은 지속적으로 나빠지며, 코드 길이의 영향은 거의 없는 것으로 보인다. 무작위 코드에 비해 최적화를 하는 경우, 단위 위상각이 20도(360도 범위에서 19개의 위상각을 사용)이면 ISLR의 개선 정도가 12 dB에서 6 dB 정도로 줄어들며, 45도(9개 사용)이면 4 dB 정도로 줄어드는 것을 알 수 있다.

Ⅳ. 결 론

본 논문은 위상 코드의 수학적 최적화 방법인 CAN 알고리즘을 기반으로, 사용할 수 있는 위상값이 제한되었을 때의 설계 방법을 제안하였으며, 제약 단위에 따른 성능 손실을 분석하여 위상변조 파형의 구현 용이성을 살펴보았다. 사용할 수 있는 위상값의 제약이 없는 경우, 12 dB정도로 ISLR이 개선되지만, 사용 가능한 위상값이 20도 간격, 19개로 제한되면 6 dB 정도로 떨어짐을 알 수 있다. 실제 구현을 위해서는 시스템의 리소스와 성능을 고려하여 선택되어야 할 것으로 생각된다. 또한, 본 논문에서는 일정 간격의 각도로 제한하였으나, 동일 개수로 다른 위상 세트 선택하는 것이 가능할 것으로 생각되며, 현재 연구 진행 중에 있다.