전투기 레이다 측정 특성을 고려한 추적정확도 분석

표적의 RCS 요동 모델링을 위해 Swerling 모델을 활용한다. Swerling 모델은 표적의 RCS를 상수가 아닌 랜덤변수로 정의한다. 이때 랜덤변수의 분포는 chi-square 분포를 따른다. chi-square 분포는 DoF개의 독립적인 정규분포의 제곱의 합으로 정의된다. 각 Swerling case는 degrees of freedom(DoF)이 다르다. Swerling case 1, case 2는 DoF가 2이고, Swerling case 3, case 4는 DoF가 4인 경우이다. Case 1, case 3은 한 스캔 내에서는 RCS가 상수로 변하지 않는다고 보고, case 2, case 4는 매 펄스마다 RCS가 변한다고 본다. Swerling case 0/5는 RCS가 상수인 경우로 DoF가 무한대이다. 본 논문에서는 한 스캔 동안 RCS가 변하지 않는 case 1과 case 3, case 0/5를 관심대상으로 한다.

Swerling case 1의 경우, DoF=2, RCS는 한 스캔 내에서 상수이다. 다음과 같은 공식으로 RCS를 모델링할 수 있다.

여기서 k는 현재 스캔을 나타내는 값이며, n은 표준정규분포을 따르는 난수, $\overline{RCS}$는 평균 RCS이다. T_c는 RCS의 correlation time을 의미한다. w₁은 time correlation을 반영하기 위해 지수형태로 표현하였다. 이전시간(t_k−1)과 현재시간(t_k) 간의 차이가 0일 때 1이고, 차이가 증가할 때 값이 점점 작아지게 된다. 따라서 이전시간과 현재시간의 차이가 없을 때 RCS는 이전시간의 RCS 값을 그대로 가지게 되고 시간차이가 증가함에 따라 RCS 값의 변화가 커지게 된다. 여기서 w₂는 (w₁)²+(w₂)² = 1을 만족하도록 구한 것이다.

Swerling case 3의 경우, DoF=4, RCS는 한 스캔 내에서 상수이다. Swerling case 1과 동일한 방식으로 time correlation을 고려해 주면 되나, DoF가 4인 것을 반영하여 정규분포를 따르는 난수를 4개로 늘리면 다음과 같은 식으로 표현된다.

위에서 설명한 방식을 활용하여 Swerling case 1과 case 3에 대해 RCS 요동 모델링을 할 수 있다.

SNR은 다음의 레이다 방정식을 활용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 P_t는 안테나 최대송신전력, G_t는 송신이득, G_r은 수신이득, λ는 파장(wavelength), N_p는 펄스 수, τ는 펄스폭, k_B는 볼츠만 상수(=1.38e−23), T₀는 기준온도(=290), F_n는 Noise figure를 의미한다. L은 모든 손실들을 합친 것이다. L은 L_s와L_at 그리고 기타 손실을 더한 것으로, L_s는 AESA 안테나 빔조향각에 의한 손실, L_at는 대기 손실을 의미한다. L_s는 AESA 안테나의 각 소자 패턴의 영향과 안테나 유효 단면적을 같이 고려할 때 빔조향각(θ)에 대해 L_s=1/cos³θ로 정의된다^[8]. 대기 손실은 0.028 dB/km로 정의한다^[9].

측정오차는 열잡음, 글린트 등에 의해 생성된다. 먼저 열잡음에 의한 측정정확도는 SNR에 대한 식으로 표현될 수 있다. 레이다가 측정하는 값은 거리와 각도 정보이며, 모노펄스 각도오차 측정방식을 사용한다고 할 때 AESA 레이다는 안테나 uv 좌표계에서 측정값을 얻는다. 거리(r), 각도(u, v)에 대한 측정오차의 표준편차는 다음과 같다^[10].

본 논문에서는 측정오차의 표준편차를 측정정확도로 정의한다. 여기서 ${\theta }_{3dB}^a$와 ${\theta }_{3dB}^e$은 각각 방위방향, 고각방향 3 dB 빔폭(안테나 boresight 방향 조향 기준)을, Δr은 거리 bin 크기를 의미한다. 모노펄스 각도 추정 방식에서 각도 오차는 작은 값이므로, 위 수식과 같이 근사가 가능하다(sin(θ) ≈ θ). $k_r,k_m^u,k_m^v$은 사전 설정 변수로 각각 1.81, 1.4, 1.4로 설정하였다.

글린트 효과로 인한 측정오차는 표적에 길이에 비례한다^[9]. 대부분의 항공기에서 글린트 효과에 의한 오차의 표준편차는 항공기 길이 L에 대해 [L/6, L/4] 범위 내로 나타난다^[9]. 본 논문에서는 글린트 오차를 중간 값인 L/5로 가정하여 다음과 같이 거리와 각도에 대한 오차의 표준편차를 정의한다.

여기서 r은 거리, L_r, L_u, L_v는 각각 거리, u, v 방향 표적기의 길이이다.

열잡음에 의한 오차와 글린트 오차를 합치면 다음과 같이 측정정확도가 계산된다.

위에서 구해진 측정정확도를 활용하여 매 스캔마다의 측정오차를 생성할 수 있다. 각 오차 성분은 독립적인 정규분포를 따르며, 평균은 0, 표준편차는 각각 σ_r, σ_u, σ_v 인 랜덤 변수로 가정한다. 이때 이 분포를 가지는 난수를 생성하여 각 스캔의 측정오차를 생성할 수 있다.

Swerling case 1, 3의 경우에 한 스캔 내에서 RCS가 변화하지 않는다. 따라서 한 스캔 내에서는 Swerling case 0의 특성을 따르므로 이에 대한 탐지확률을 계산한다(매 스캔마다 변화된 RCS 값을 구하므로, Swerling 모델에 대한 고려는 RCS 계산을 통해 적용된다). 참고문헌 [9]의 2.2.1 장의 수식을 참고하면 탐지확률은 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 P_fa는 오경보 확률(false alarm probability)이다. 본 논문에서 P_fa는 10⁻⁴으로 설정한다.

2-4장에서 구한 탐지확률 P_d로 탐지 여부를 결정할 수 있다. 매 탐지시도마다 P_d를 계산한 후 [0,1] 범위를 가지는 균등분포(uniform distribution)를 따르는 난수 u를 생성한다. u가 P_d보다 작을 확률은 P_d이므로 u와 P_d의 비교를 통해 다음 수식과 같이 탐지 여부를 결정할 수 있다.

여기서 d_k는 탐지여부를 표현하는 변수로 1이면 탐지성공, 0이면 탐지 실패를 의미한다.

추적성능분석을 위해 추적필터는 converted measurement Kalman filter(CMKF)를 활용하였으며, 공분산과 측정값 변환을 위해서 참고문헌 [4]의 방식을 사용하였다. 이때 측정값은 (r, u, v)로 수신되며, 이를 north east down (NED) 좌표계로 변환하여 추적에 활용한다. 참고문헌 [11]의 discrete kalman filter의 예측과 갱신알고리즘을 적용하였다. 동역학 모델로는 constant velocity(CV) 모델을 활용하였다. 본 논문에서 사용한 전이행렬 A와 공정잡음공분산 Q는 다음과 같이 정의된다.

이때 q_cv는 설정파라미터로 100으로 설정하였다. 측정잡음공분산은 고정된 값을 활용하였으며, 다음과 같이 정의된다.

여기서 ${\overline{\sigma }}_r=5,{\overline{\sigma }}_u=0.0052,{\overline{\sigma }}_v=0.0052$로 설정하였다. 이 측정잡음공분산은 참고문헌 [4]의 방식을 통해 NED 좌표계로 변환되어 추적필터 갱신에 활용된다.

탐지에 성공한 경우, 측정값을 활용하여 추적필터를 갱신하고, 탐지에 실패한 경우에는 다음에 측정값이 들어올 때까지 예측을 수행한다.

실험을 위한 변수 설정은 다음과 같다. 최대송신전력은 10,000 W, 송신이득과 수신이득은 각각 35 dB이다. Noise Figure는 7 dB, 손실 L은 기타 손실 10 dB에 안테나 스캔 손실과 대기손실을 더한 것이다. 캐리어주파수는 10 GHz이고, PRF는 10 kHz, 펄스수는 128개, 펄스폭은 10 us, 펄스압축은 Linear frequency modulation(LFM) 5 MHz로 수행하며, Δr은 30 m이다. 방위각, 고각방향 3 dB 빔폭은 각각 4°, 5°로 설정하였다.

항공기의 레이다와 표적기의 기동에 관한 시나리오는 다음과 같이 정의한다. 항공기와 표적기의 초기거리는 50 km이다. 표적기와 항공기는 같은 고도(5,000 m)에서 마주보고 서로 다가오며, 이때 속도는 각각 250 m/s이다. 시나리오는 50초간 유효하다. 표적의 길이, 너비, 높이는 각각 18, 10, 5 m로 설정하였다. 표적의 Swerling case는 1로 설정하며 평균 RCS는 1 m²이다.

실험은 Monte-Carlo를 통해 통계적인 결과를 분석하였으며, 횟수는 10,000번이다. 스캔간격은 1초로 설정하였다.

추적성능분석은 RCS 요동과 탐지확률이 추적정확도에 미치는 영향을 확인하기 위해 총 3가지 방법으로 이루어 졌다. 첫 번째 방법은 본 논문에서 제안한 방법으로 분석한 것이다(방법 1). 두 번째 방법은 매 스캔마다 RCS를 계산하지 않고 평균 RCS 값에 따른 SNR과 탐지확률을 적용하여 성능을 분석한 것이다(방법 2)^[7]. 이때 Swerling case 1을 고려하여 탐지확률은 다음과 같은 수식을 이용하였다^[12].

여기서 $\overline{SNR}$은 평균 RCS에 의한 SNR이다. 세 번째 방법은 두 번째 방법에서 탐지확률이 항상 1인 경우이다(방법 3). 방법 3과 방법 2를 비교하여, 탐지확률이 추적성능에 미치는 영향을 분석하고, 방법 2와 방법 1을 비교하면서, RCS 요동을 고려하는 방법에 따른 추적정확도 차이를 분석한다.

그림 2는 추적성능분석을 수행한 결과를 보여준다. method 1, 2, 3은 각 성능분석방법을 의미한다. 그림 2(a)는 거리 추적오차, 그림 2(b)는 방위각 추적오차, 그림 2(c)는 고각 추적오차를 보여준다. x축은 거리이며, y축은 각 오차(거리, 방위각, 고각)를 의미한다. 모든 분석방법에 공통적으로 거리가 가까워질수록 추적오차가 작아지는 것을 확인할 수 있다. 근접 거리에서 SNR이 높으므로 작은 측정오차와 높은 탐지확률이 획득되기 때문이다. 각 분석 방법에 대해 추적오차 차이에 대한 분석은 다음과 같다.

그림 2. | Fig. 2. 추적성능 분석결과 | Results of tracking performance analysis.

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먼저 방법 1과 방법 2를 비교해 보면 거리, 방위각, 고각에 대해서 공통적으로 방법 1의 추적오차가 크게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 방법 1의 경우, 매 스캔마다 RCS 변화시켰고, 방법 2는 평균 RCS와 Swerling 모델을 활용하여 탐지확률과 측정오차를 계산한 방법이다. RCS 요동을 적용하는 방법에 따라 추적성능이 다르게 나타나는 것을 확인할 수 있는데, 이에 대한 원인은 그림 3에서 찾을 수 있다. 그림 3은 각 방법의 거리측정오차를 거리에 대해 보여준다. 10,000번의 Monte-Carlo 시뮬레이션 동안 생성된 거리측정오차의 root mean square error(RMSE)를 계산한 것이다. 방법 2와 방법 3이 거의 동일한 거리측정오차를 가지는 것을 확인할 수 있고, 방법 1은 비교적 큰 거리측정오차를 가지는 것을 알 수 있다. 매 스캔 RCS를 계산한 경우, RCS 요동에 의해 측정오차가 커지는 효과가 발생한 것이다. 따라서 방법 1이 더 가혹한 분석환경이므로 자연히 추적오차 또한 크게 나타나게 된다.

그림 3. | Fig. 3. 거리 측정 오차(RMSE) | Range measurement error(RMSE).

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방법 3은 탐지확률을 고려하지 않고 항상 탐지에 성공하는 방법이다. 방법 2와 방법 3의 측정오차는 동일하나 방법 3이 더 자주 추적갱신을 수행하게 되므로 낮은 추적오차를 얻게 된다.

거리가 가까워지면 질수록 방법 2와 방법 3의 추적성능이 거의 같아지는데, 이것은 가까운 거리에서는 충분한 SNR이 확보되면서 방법 2의 탐지확률도 1에 가까워지기 때문이다. 하지만 여전히 방법 1과 방법 2, 방법 3 간에 차이가 있는데, 이는 앞서 설명한 측정오차의 차이 때문이다.

추적필터가 안정화되고 난 후 거리 45 km 지점에서의 거리추적오차는 각 방법에 대해 9.8 m, 5.8 m, 4.1 m이다. 방법1에 비해 방법 2와 방법 3이 각각 약 40 %, 58 % 정도 줄어든 추적오차를 가지는 것을 확인할 수 있었다. 따라서 표적의 RCS 요동과 탐지확률을 추적성능분석에 적용하는 방법에 따라 추적성능이 크게 달라짐을 알 수 있다.