탐색 레이다에서 누적확률에 기인한 탐지거리 계산에 관한 연구

그림 1에서와 같이 원거리에서부터 일정한 속도로 다가오는 표적의 경우 거리 R에서의 누적 탐지 확률 P_c(R)는 식 (1)과 같이 표현된다^[5].

그림 1. | Fig. 1. 항공기용 레이다의 공간 탐색과 다가오는 표적 | Airborne scanning radar and a closing target.

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여기서, P_d(R)은 거리 R에서의 단일 탐지 확률, l은 표적이 초기 탐지거리에서부터 R까지 다가오는 동안의 탐색횟수이며, Δ은 탐지주기 동안에 이동한 거리로서 레이다 방향으로 다가오는 표적의 속도(거리변화율)와 탐지주기의 곱인 $\Delta =T\dot{R}$으로 나타낼 수 있다. 그림 2는 Swerling I 모델에 대한 단일 탐지 확률과 누적 탐지 확률의 예를 보여주며, 누적 탐지 확률에 의한 이득이 큰 것을 나타내고 있다.

그림 2. | Fig. 2. 단일 탐지 확률과 누적 탐지 확률의 예 | Per-scan probability and cumulative probability.

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식 (1)은 레이다의 탐지시점에 표적이 정의된 거리, 즉, $R+kT\dot{R}$ 에 위치한 경우에 대한 식을 표현하고 있으나, 실제 표적은 R과 $R+T\dot{R}$ 사이 어디에도 존재할 수 있으므로, 이를 고려한 계산이 필요하다. 본 논문은 이를 계산하는 방법으로, 누적 탐지 확률의 거리별 밀도를 구하고, 이를 적분하여 최종 누적 탐지 확률을 계산하는 방식을 제시한다. 거리별 누적 탐지 확률의 밀도는 누적 탐지 확률의 차이로 부터 구하였으며, 이는 식 (2)와 같이 결과적으로 표적이 주어진 거리 r까지 다가올 동안 한 번도 탐지되지 않다가, r에서 처음 탐지되는 확률이 된다.

따라서 이를 먼 거리에서부터 R에 이르는 동안 적분하면 최종 누적 탐지 확률이 된다.

또한 식 (3)은 식 (4)와 같이 변형될 수 있으므로, 결과적으로는 R과 R+ Δ 사이의 누적 탐지 확률의 평균값이 되는 것도 알 수 있다.

두 번째 적분항을 r′=r+ Δ로 치환하면, 이다. 이렇게 구해지는 최종 누적 탐지 확률에 대하여 탐지 거리를 최대화하기 위해 탐색 주기를 최적화시켰을 경우, 표적 반사 면적(Radar Cross Section: RCS)의 변동(fluctuation)이 없다면, 즉 Marcum 모델에 대하여는 단일 탐지 확률과 2 %내에서 비슷하며, 변동(fluctuation)이 있는 모델에서는 이득이 크다고 보고된바 있다^[6].

마지막으로 누적 탐지 확률은 최초 탐지거리(Rmax) 에 따라 값이 달라지므로 이를 고려하여야 한다. 식 (3)～ 식 (5)에서는 l 값이 달라지는 효과이다. 그림 3은 동일한 단일 탐지 확률에 대하여 초기 탐지 거리(Rmax)에 따른 누적 탐지 확률의 변화를 보여준다. 초기 탐지 거리는 시스템에서 정의될 수 있는 값이다. 특히 MPRF(Medium Pulse Repetition Frequency)파형을 사용할 경우, 분해(resolving)하기 위한 최대 탐지 거리는 정해져야 할 것이다.

그림 3. | Fig. 3. 최초 탐지거리에 따른 누적확률의 변화 | Cumulative detection probability according to the initial detection range.

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앞절의 식 (3)에 따라 계산된 결과를 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 실시한 결과와 비교하였다.

시뮬레이션은 원거리에서 속도 500 m/s로 다가오는 반사면적 5 m²의 단일 표적에 대하여 초기 탐지거리를 100 NM부터 탐지하였을 경우, 누적 탐지 확률이 85 %되는 거리를 계산하였다. 탐색 방식은 그림 4와 같으며, 표적 의 변동(fluctuation)모델은 Swerling I이 사용되었다. 또한 시뮬레이션은 서로 다른 3가지의 탐색 주기(3.0초 4.26초, 6.76초)에 대하여 각각 실시되었으며, 오탐 시간 간격(false alarm time)에 따라 변경하여 구해 보았다. 오탐 시간은 탐지 셀의 수가 정해지는 경우, 다음과 같이 계산되며, 오탐 확률(false alarm probability)에 반비례한다^[7].

그림 4. | Fig. 4. 항공기용 레이다의 공간탐색 | Volume search of a airborne radar.

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여기서 t_fa는 오탐 시간 간격, T는 탐색주기, m은 탐색주기내의 모든 탐지 셀의 수이다. 코히어런트(coherent)한 거리-도플러 처리만을 가지는 드웰의 경우, m은 거리 셀의 수, 도플러 셀의 수, 탐색 영역 내 빔 수의 곱으로 나타낼 수 있다. 오탐 시간은 오탐 확률에 비해 사용자측에서 직접적으로 느끼는 기준이 되므로 이를 사용하였다.

본 시뮬레이션은 안테나의 스캔능력 및 시나리오가 이상적인 경우에 대한 것이므로, 그림 5에서 보이는 바와 같이 수치적 계산결과와 몬테카를로 시뮬레이션 결과가 각각의 탐색 주기에 대하여 동일한 결과를 나타내었다. 그림 5의 R85는 누적 탐지 확률이 85 %가 되는 거리를 나타낸다. 200초 이상의 오탐 시간에 대하여는 수행시간 자체도 늘어나야 하며, 이로 인한 누적 데이터 량도 증가하여 저장시간을 포함한 수행시간이 지나치게 길어지므로 몬테카를로 시뮬레이션을 결과를 생략하였다.

그림 5. | Fig. 5. 수치적 계산 결과와 몬테카를로 시뮬레이션 결과 비교(오탐 시간에 따른 탐지거리의 변화) | Comparison of the results from the numerical calculation and Monte Carlo simulation.

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