배열 인자 LUT 기반 보간을 이용한 레이다 신호 모의 기법

본 논문의 배열 안테나 구조는 그림 1과 같다. 부배열 기반의 배열 안테나이며, 해당 구조는 디지털 빔형성(digital beamforming)을 통해 다양한 빔 합성이 가능하기 때문에 다기능 레이다에 널리 적용되고 있다^[7],[8]. 설계된 배열 안테나는 총 N개의 부배열로 구성되며, 각 부배열은 M개의 단일 소자로 구성된다. 부배열은 각 안테나 소자에 인가된 신호에 진폭 및 위상 가중치를 적용하여 소자별 신호를 합성한다. 이후 각 부배열 출력 신호에 디지털 빔포밍 가중치를 적용하여 K개의 다중 수신 빔을 형성한다. 송신 빔은 각 안테나 소자의 방사 신호에 진폭 및 위상 가중치만 적용하여 단일 빔을 형성한다.

그림 1. | Fig. 1. 부배열 기반의 배열 안테나 구조 | Array antenna structure based on sub-array.

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k-번째 수신 빔에 의한 복소 신호(s_k)는 레이다 방정식(radar equation)을 기반으로 식 (1)과 같이 표현할 수 있다^[9].

식 (1)에서 P_t는 안테나 송신 전력, G_t는 안테나 boresight 방향에서의 송신 안테나 이득, G_r는 안테나 boresight 방향에서의 수신 안테나 이득, λ는 파장(wavelength), σ는 RCS, r은 레이다부터 표적까지의 거리, B_n은 잡음 대역폭, T_n은 시스템 온도, L은 손실이다. AF^tx(u,v)는 송신 빔의 배열 인자, $A{F}_{{}^k}^{rx}\left(u,v\right)$는 k-번째 수신 빔의 배열 인자를 나타낸다. 배열 인자는 앞서 기술한 바와 같이 배열 안테나 각 소자에 인가된 크기와 위상에 의해 형성되는 복소 함수로, 송·수신 빔 방향과 표적 방향에 따라 결정되는 빔 패턴의 형태를 뜻한다. (u,v)는 표적 방향을 뜻하며 아래 식 (2)와 같다^[3].

위 식에서 az는 표적의 방위각(azimuth), el은 표적의 고각(elevation)이다. 송신 빔의 배열 인자 AF^tx(u,v)는 모든 배열 안테나 소자 신호를 합성하여 식 (3)과 같이 표현할 수 있다.

위 식에서 a_n.m은 n-번째 부배열의 m-번째 안테나 소자의 진폭 가중치, (x_n.m,y_n.m)는 n-번째 부배열의 m-번째 안테나 소자의 위치, (u₀,v₀)는 송신 빔 조향 방향이다.

수신 빔 배열 인자는 부배열 단위의 배열 인자부터 정의한다. n-번째 부배열에 해당하는 배열 인자 $A{F}_{{}^n}^{sub}\left(u,v\right)$를 식 (4)와 같이 표현할 수 있다.

위 식에서 g_n.m은 n-번째 부배열의 m-번째 안테나 소자의 진폭 가중치이다. 위 식으로 형성된 부배열의 배열 인자에 디지털 빔포밍 가중치(w_n.k)를 적용하여 k-번째 수신 빔의 배열 인자 $A{F}_{{}^k}^{rx}\left(u,v\right)$를 표현할 수 있다.

식 (5)에서 w_n.k는 n-번째 부배열의 k-번째 수신 빔에 대한 디지털 빔포밍 가중치, ^*는 켤레 복소수(complex conjugate)이다.

위 식에서 (X_n,Y_n)은 n-번째 부배열의 위상 중심(phase center), $\left(u_k^{squint},v_k^{squint}\right)$는 k-번째 수신 빔 조향 방향으로, 송신 빔 조향 방향 (u₀,v₀)을 기준으로 한 상대 방향(각도 편차)이다. 따라서 표적 방향과 송·수신 빔 조향 방향이 주어지면 송·수신 배열 인자가 결정되며, 결정된 배열 인자를 통해 복소 신호 s_k가 산출된다.

본 논문에서 제안하는 신호 모의 방식은 식 (3)과 (5)를 통해 계산된 배열 인자를 LUT로 저장하여 복소 신호를 계산하는 방식을 기반으로 한다. 배열 인자의 입력인 (u,v)를 전체 각도 범위 내에서 동일한 간격으로 샘플링하여 2차원 그리드를 구성한다.

위 식에서 P는 u-방향의 샘플 수, Q는 v-방향의 샘플 수이다. 각 샘플 위치에서 배열 인자를 계산하여 복소 값을 저장하며, LUT는 P×Q 크기의 복소 배열로 정의된다. 이때 P와 Q는 LUT의 해상도를 결정하는 주요 설계 변수이다. P와 Q를 크게 설정하여 LUT 해상도를 증가시키면 배열 인자의 각도 변화 특성을 보다 정밀하게 표현할 수 있으나, 이에 따라 메모리 요구량과 사전 계산 비용이 증가한다. 반대로 P와 Q를 작은 값으로 설정하여 LUT 해상도가 낮아질 경우 계산 효율은 향상되지만, 배열 인자의 국소적인 변화 특성이 충분히 반영되지 않아 각도 추정 성능 저하로 이어질 수 있다. 특히 추적 레이다에서 일반적으로 사용되는 모노펄스 기반 각도 추정에서는 빔 중심 인근에서 배열 인자의 기울기가 각도 민감도를 결정하므로, LUT 해상도는 이러한 국소적인 변화 특성을 충분히 표현할 수 있어야 한다. 따라서 본 논문에서는 P와 Q를 고정된 값으로 제한하지 않고 설계 변수로 설정하여, LUT 해상도에 따른 각도 추정 성능과 계산 시간의 변화를 모의시험을 통해 분석하였다.

또한 LUT는 배열 인자의 송신 빔 방향 (u₀,v₀)이 원점을 일때를 기준으로 생성하였다. LUT를 호출할 때에는 송신 빔의 조향 각도와 표적의 실제 방향 간 차이를 산출하고, 이 상대각에 해당하는 LUT 인덱스를 사용하여 값을 참조하기 때문이다. 즉, LUT는 절대 각도가 아닌 상대 각도를 입력으로 활용하도록 설계되었다. 송신 빔 배열 인자는 1개의 LUT, 수신 빔 배열 인자는 K개의 LUT가 저장되며, 저장되는 LUT는 식 (8)과 같이 표현된다.

위 식에서 L^tx[i,j]는 송신 빔 배열 인자 기반 LUT에서 (i,j)위치에 저장된 샘플 값, ${\text{L}}_k^{rx}\left[i,j\right]$는 k-번째 수신 빔 배열 인자 기반 LUT에서 (i,j)위치에 저장된 샘플 값이다. 송신 빔 조향 방향과 표적 방향의 상대각에 해당하는 LUT 인덱스는 다음 식 (9)로 산출된다.

위 식에서 k_u는 u-방향 LUT 인덱스, k_v는 v-방향 LUT 인덱스이다. (Δu,Δv)는 표적 방향과 송신 빔 조향 방향의 차이(Δu=u-u₀,Δv=v-v₀)이다. 만약 보간을 수행하지 않는다면, (k_u,k_v) 번째 샘플에 해당하는 송·수신 배열 인자의 LUT 값을 호출하여 복소 신호 s_k를 계산할 수 있다.

제안된 기법은 2차원 도메인(u,v)상의 LUT 값을 기반으로 정확한 배열 인자 값을 근사하기 위해 2차원 라그랑주 보간 방식을 적용한다. 배열 인자는 관측 각도에 대해 연속적이고 완만하게 변화하는 복소 함수이다^[10]. 이러한 특성으로 인해 배열 인자는 각도 도메인에서 샘플링한 후, 보간을 통해 근사할 수 있다. 일반적으로 연속적이고 완만하게 변화하는 함수의 근사에는 다항 보간(polynomial interpolation) 기법이 널리 사용되며, 라그랑주 보간은 기저 함수(basis function)를 통해 보간 다항식을 구성할 수 있는 대표적인 방법이다^[11]. 따라서 본 논문에서는 배열 인자가 저장된 LUT를 기반으로, 라그랑주 보간을 이용하여 배열 인자를 효과적으로 근사하는 방식을 제안한다. 이 방식은 u-방향과 v-방향의 라그랑주 기저 함수를 곱 형태로 결합하여 이중합 구조의 2차원 보간식을 구성한다.

라그랑주 보간에 필요한 수식을 전개하기 위해 변수를 정의하였다. T는 보간 차수(order)로, 보간에 사용되는 샘플 수는 (T+1)개이다. 라그랑주 보간의 차수는 배열 인자 근사의 정확도와 계산 복잡도에 직접적인 영향을 미치는 주요 설계 변수이다. 일반적으로 보간 차수가 증가할수록 배열 인자의 근사 오차는 감소하는 반면, 보간에 필요한 연산량은 증가한다. 그러나 배열 인자는 관측 각도에 대해 연속적인 특성을 가지므로, 일정 차수 이상의 보간에서는 정확도 향상이 제한적일 수 있다. 이에 따라 본 논문에서는 보간 차수를 고정된 값으로 제한하지 않고 설계 변수로 설정하여, 차수 변화에 따른 각도 추정 성능과 계산 시간의 변화를 모의시험을 통해 분석하였다. 일반적으로 보간 차수는 중심 샘플 기준으로 대칭적인 샘플을 선택하기 위해 짝수 차수를 사용한다. h는 중심으로부터 앞뒤 샘플을 정의하기 위한 변수로 h=T/2로 정의한다. c는 인덱스 오프셋 집합으로 c={−h,…,0,…,h}이다. 보간에 필요한 중심 인덱스 (k_u,k_v)는 식 (9)과 동일하다. 라그랑주 보간은 중심 샘플을 기준으로 좌·우 각각 h개의 이웃 샘플을 요구하므로, 인덱스의 양끝 경계 조건을 만족시키기 위해 중심 인덱스 (k_u,k_v)는 식 (10)의 조건을 따르도록 제한하였다.

위 식은 LUT 양단부에서 보간 시 샘플 부족이 발생하지 않도록 하기 위한 전처리 단계이다. 인덱스가 위 식의 범위를 벗어나는 경우 해당 값을 가장 가까운 경계점으로 고정하여 처리한다. 다음으로 표적 방향과 빔 방향의 차이 (Δu,Δv)와 중심 인덱스에 해당하는 방향 (u[k_u],v[k_v])간의 정규화된 거리 (x_u,x_v)를 정의한다.

위 식에서 (d_u,d_v)는 LUT 샘플 간 간격이다. 앞서 기술된 수식들을 기반으로 라그랑주 보간의 기저 함수를 정의한다. t-번째 보간 인덱스의 기저 함수는 식 (12)와 같이 표현한다.

위 식에서 $B_u^t\left(x_u\right)$와 $B_v^t\left(x_v\right)$는 LUT상의 t-번째 샘플에 대응하는 기저 함수이다. 이는 해당 샘플이 보간 결과에 기여하는 가중치를 결정하는 함수이다. 정의된 기저 함수를 기반으로 최종 근사값 $\widehat{AF}\left(\Delta u,\Delta v\right)$은 식 (13)과 같이 표현된다.

위 식에서 L[·]는 배열 인자를 기반으로 저장된 LUT이며, 송신 빔 LUT는 L^tx[·], 수신 빔 LUT는 ${\text{L}}_k^{rx}\left[\cdot \right]$를 사용한다. 식 (13)에서 $\widehat{AF}\left(\Delta u,\Delta v\right)$의 입력을(Δu,Δv)로 설정한 것은, (x_u,x_v)와 (k_u,k_v)가 독립 변수 (Δu,Δv)에 의해 결정되는 종속 변수이기 때문이다.

제안된 기법을 통해 식 (1)의 복소 신호 모델에서 배열 인자에 해당하는 항을 식 (13)에 정의된 라그랑주 보간 기반 배열 인자 근사값으로 계산함으로써 최종 복소 신호 s_k를 도출할 수 있다.

제안된 기법은 LUT 기반의 배열 인자 호출 방식을 기반으로 사전 계산된 배열 인자를 저장하여 사용하므로, LUT 해상도에 따라 메모리 요구량과 사전 계산 비용이 결정된다. LUT는 앞서 기술한 샘플 수인 P와 Q로 정의되는 P×Q 크기의 복소 배열로 구성되며, 이에 따른 메모리 요구량은 PQ에 비례한다. 또한 LUT 생성 과정에서 각 샘플 지점에 대해 배열 인자를 계산하므로, 사전 계산 비용은 배열 인자 계산에 필요한 연산량을 C_AF이라 할 때, PQC_AF에 비례한다. 해당 사전 계산은 모의 이전 단계에서 오프라인으로 한 번 수행되므로, 실시간 신호 모의 과정에는 직접적인 영향을 미치지 않는다.

모의시험을 위해 설계된 배열 안테나 파라미터를 표 1에 정리하였고, 배열 안테나 형상을 그림 2에 도시하였다. 주파수는 10 GHz이고, 총 10,000개의 안테나 소자로 구성된 100×100의 사각 배열 안테나이며, 안테나 소자 간 간격은 0.5 λ로 구성하였다. 한 개의 부배열은 5×5의 안테나 소자로 구성되어, 총 부배열 개수는 400개이다.

그림 2. | Fig. 2. 배열 안테나 형상 | Array antenna configuration.

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본 논문에서는 모의 방식에 따라 레이다 성능에 미치는 영향을 분석하기 위해 모노펄스 기법을 적용하여 표적 각도를 추정하였다. 모노펄스 각도 추정은 송·수신 배열 안테나에서 형성되는 합채널(∑)과 차채널(Δ)의 패턴 특성을 이용하여 표적의 각도 오차를 계산하는 방식이다^[12].

모노펄스 빔 형성을 위해 그림 3과 같은 5개의 수신 빔을 구성하였다. 수신 빔폭은 방위각×고각에 대해 1°×1°, 수신 빔 간의 간격은 방위각×고각에 대해 0.5°×0.5°로 설정하였다. 각 수신 빔의 조향 방향은 1번 빔부터 5번 빔까지 각각 (−0.5°, 0°), (0°, −0.5°), (0°, 0°), (0°, 0.5°), (0.5°, 0°)이다. 송신 빔 방향은 (0°, 0°)으로 고정하였다.

그림 3. | Fig. 3. 3-dB 수신 빔 형상 | 3-dB receive beam configuration.

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모노펄스 기법을 구현하기 위해, 합채널은 3번 빔의 수신 신호로 구성하였다. u-방향 차채널은 5번 빔과 1번 빔의 신호 차이로, v-방향 차채널은 4번 빔과 2번 빔 신호의 차이로 각각 생성하였다. 모노펄스 빔 패턴은 그림 4와 같으며, 배열 안테나 구조가 방위각-고각 축에 대해 대칭이므로, v-방향의 차채널 빔 패턴은 u-방향의 차채널 빔 패턴과 동일한 형태를 갖는다. 따라서 그림 4에는 u-방향의 차채널 빔 패턴만 제시하고 v-방향의 차채널 빔 패턴은 생략하였다.

그림 4. | Fig. 4. 모노펄스 빔 패턴(u-방향) | Monopulse beam pattern (u-axis).

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모의를 위한 표적 방향은 방위각과 고각 각각 [−0.5°, 0.5°] 범위 내에서 균일 분포로 랜덤 생성하였다. 총 1,000회 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하여 각도 추정 성능을 평가하였다.

배열 인자 LUT의 (u,v) 범위는 전방향에 대한 배열 인자를 저장하기 위해 [−1, 1]로 설정하였으며, LUT의 샘플 개수(P,Q)와 보간 차수(T)는 변수로 두어 모의를 수행하였다.

본 연구에서는 배열 인자 계산 절차를 세 가지 방식으로 구분하여 비교하였다. 배열 인자 직접 계산 방식, 최근접 샘플 선택 방식, 그리고 제안된 방식이다. 배열 인자 직접 계산 방식은 복소 신호를 계산하기 위한 배열 인자를 수식을 통해 직접 계산하는 방식이다. 최근접 샘플 선택 방식은 LUT에서 보간 없이 가장 가까운 샘플만을 선택하여 배열 인자 값을 호출하고 복소 신호를 계산하는 방식이다.

성능 평가는 추정 방향과 실제 표적 방향의 차이로 정의되는 각도 추정 오차와 평균 계산 시간을 기준으로 비교하였다. 모의시험은 Intel Core Ultra 7 155H(1.4 GHz)와 64 GB RAM이 장착된 PC에서 수행하였다.

LUT 샘플 개수에 따라 각 계산 방식에서의 각도 추정 오차와 평균 계산 시간을 분석하였다. 각도 추정 오차는 2차원 도메인(u,v)에서 실제 표적 방향과 추정 방향 간의 거리로 정의하였다.

위 식에서 (u_est,v_est)는 각도 추정 결과, (u_true,v_ture)는 실제 표적의 각도이다.

모의시험의 편의를 위해 u-방향의 샘플 개수 P와 v-방향의 샘플 개수 Q를 동일한 값으로 변경하며 모의하였다. 또한 샘플 수는 홀수로 선택하여 중앙점이 원점에 정렬되도록 하였다. 보간 차수는 2차로 고정하여 수행하였다. 아울러 배열 인자 계산 방식에 따른 성능 차이만을 비교하기 위해, 표적 신호의 크기는 30 dB로 고정하고 배열 인자를 제외한 다른 변수들로 인한 영향은 배제하였다.

샘플 개수에 따른 각도 추정 오차(ϵ_uv)의 표준편차를 그림 5에 도시하였다. 이는 1,000회 Monte Carlo 시뮬레이션에서 얻어진 식 (14)의 각도 추정 오차(ϵ_uv)의 분포로부터 계산된 값이다. 추정된 각도가 실제 각도와 가까울수록 오차가 0에 수렴하게 되며, 이에 따라 표준편차가 작아진다. 따라서 표준편차가 작을수록 각도 추정 성능이 우수함을 의미한다.

그림 5. | Fig. 5. 샘플 수에 따른 표준편차 | Standard deviation versus number of samples.

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배열 인자 직접 계산 방식의 경우 식 (3) 및 식 (5)를 통해 배열 인자를 계산하므로 LUT 해상도와 무관하게 일정한 성능을 보이며, 각도 추정 오차의 표준편차는 평균 약 2.48×10⁻⁴ 수준으로 나타났다.

최근접 샘플 선택 방식은 샘플 수가 증가함에 따라 표준편차가 감소하는 경향을 보였지만, 선형적으로 감소하지는 않았다. 이는 모노펄스 각도 추정을 위한 모노펄스 비율의 비선형성이 크기 때문에, LUT를 균일 간격으로 샘플링하더라도 실제 기울기 변화를 충분히 반영하지 못하기 때문이다. 특히 최근접 방식으로 LUT 값을 선택하는 경우, 목표값과 가장 가까운 샘플이 모노펄스 기울기를 평가하는 유효 구간을 벗어나면 실제 기울기와 차이가 커지며, 그 결과 샘플 수가 증가함에도 특정 구간에서 각도 추정 오차가 다시 증가하는 현상이 발생한다^[12]. 이는 비선형 함수에서 샘플 간격의 미세한 변화가 대표 샘플 위치를 바꾸어, LUT 기반 근사 성능에 불연속적인 변화를 일으키기 때문이다.

이에 비해 제안된 방식은 평균적으로 3.90×10⁻⁴의 표준편차를 보여, 최근접 샘플 선택 방식보다 현저히 낮은 오차 수준을 나타냈다. 또한 배열 인자 직접 계산 방식과의 차이도 평균적으로 1.42×10⁻⁴에 불과하여, 제안된 방식이 배열 인자 직접 계산 방식과 거의 동일한 정확도를 제공함을 확인할 수 있었다.

각도 추정 오차를 2차원 도메인(방위각, 고각)에서 확인하였다. 그림 6에 샘플 수가 401개인 경우와 801개인 경우의 각도 추정 오차를 도시하였다. 샘플 수가 401개인 경우 각도 추정 오차의 표준편차는 최근접 샘플 선택 방식과 제안된 방식이 각각 1.10×10⁻⁴, 0.41×10⁻⁴, 샘플 수가 801개인 경우 각도 추정 오차의 표준편차는 최근접 샘플 선택 방식과 제안된 방식이 각각 0.52×10⁻⁴, 0.37×10⁻⁴으로 계산되었다.

그림 6. | Fig. 6. 샘플 수에 따른 각도 추정 오차 | Angle estimation error versus number of samples.

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샘플 개수에 따른 평균 계산 시간을 그림 7에 도시하였다. 배열 인자 직접 방식의 평균 계산 시간은 19.68 ms로 가장 오래 소요되었다. 이에 비해 최근접 샘플 선택 방식은 평균 약 0.09 ms로 가장 빠른 계산 시간을 보였으며, 제안된 방식은 평균 약 0.11 ms가 소요되어 최근접 샘플 선택 방식보다는 다소 느리지만 배열 인자 직접 계산 방식보다는 빠른 것으로 나타났다. 또한 샘플 수가 증가하더라도 평균 계산 시간에는 큰 변화가 없었는데, 이는 저장된 LUT 값을 단순히 호출하는 구조이기 때문이다.

그림 7. | Fig. 7. 샘플 수에 따른 평균 계산 시간 | Average calculation time versus number of samples.

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라그랑주 보간 차수가 각도 추정 성능과 계산 시간에 미치는 영향을 파악하기 위해 차수를 변경하며 모의시험을 수행하였다. 샘플 수는 301개로 고정하여 수행하였다. 앞선 시험과 마찬가지로 배열 인자 방식에 따른 차이만을 비교하기 위해 표적 신호의 크기는 30 dB로 고정하여, 배열 인자를 제외한 다른 변수들로 인해 성능이 영향을 받지 않도록 설정하였다.

라그랑주 보간 차수에 따른 각도 추정 오차의 표준편차를 그림 8에 도시하였다. 차수가 증가할수록 각도 추정 오차의 표준편차에 큰 차이가 없는 것을 알 수 있으며, 저-차수(low-order)의 보간만으로도 충분히 좋은 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다.

그림 8. | Fig. 8. 보간 차수에 따른 표준편차 | Standard deviation versus interpolation order.

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그림 9은 라그랑주 보간의 차수에 따른 평균 계산 시간을 나타낸 것이다. 제안된 방식의 평균 계산 시간은 배열 인자 직접 계산 방식의 평균 계산 시간(19.68 ms)에 비해 현저히 작았다. 또한 보간 과정에서는 식 (13)과 같이 차수의 제곱에 비례하여 LUT에서 불러온 배열 인자 값을 가중합해야 하므로, 차수가 증가할수록 연산량이 완만하게 증가하는 추세를 보였다.

그림 9. | Fig. 9. 차수에 따른 평균 계산 시간 | Average calculation time versus number of samples.

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모의 환경의 다양성을 보다 효과적으로 검증하기 위해, 신호 품질 변화가 배열 인자 근사 정확도에 미치는 영향을 분석하고자 SNR 조건을 변화시키며 각도 추정 성능을 비교하였다. 샘플 수는 1,001개로 고정하고, 보간 차수는 2차로 설정하여 SNR만 변경하며 기존과 동일한 조건에서 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하였다. SNR은 20 dB에서 50 dB까지 변경하며 모의시험을 수행하였다.

그림 10은 SNR에 따른 각도 추정 오차의 표준편차를 나타낸 것이다. 모든 SNR 구간에서 배열 인자 직접 계산 방식, 제안된 방식, 최근접 샘플 선택 방식 순으로 표준편차가 큰 것을 확인하였다. 이러한 결과는 제안된 보간 기반 방식이 특정 SNR 조건에 국한되지 않고, 다양한 신호 품질 환경에서도 안정적으로 배열 인자를 근사할 수 있음을 보여준다. 방식 간 성능의 정량적인 차이는 SNR 구간에 따라 다르게 나타났다. 20 dB의 SNR이 낮은 환경에서는 세 가지 방식 모두 잡음의 영향이 지배적으로 작용하여, 제안된 보간 방식과 LUT 기반 최근접 샘플 선택 방식 간의 성능 차이가 상대적으로 작았다. 반면 50 dB의 SNR이 높은 환경에서는 제안된 보간 방식이 배열 인자 직접 계산 방식과 거의 동일한 성능을 보였으며, 최근접 샘플 선택 방식과는 뚜렷한 성능 차이를 보였다. 이는 제안된 방식이 고품질의 신호 환경에서 배열 인자의 연속적인 특성을 효과적으로 복원할 수 있음을 의미하며, 잡음 환경이 개선될수록 제안 기법의 장점이 더욱 명확해짐을 보여준다.

그림 10. | Fig. 10. SNR에 따른 표준편차 | Standard deviation versus SNR.

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