적응형 팬스 운용 기법을 통한 조기경보 레이다 탐지 신뢰도 향상

상승 구간의 탄도 비행체는 포물선에 근사되는 궤적을 따라 이동하며, 레이다는 이를 거리, 방위각, 고각의 형태로 관측한다. 표적의 상태는 위치(m)와 속도(m/s)로 구성된 6차원 벡터로 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

이는 단순 중력장 내 운동방정식으로 기술되며, 외란 및 모델링 오차를 포함하기 위하여 상태 방정식은 식 (2)와 같이 표현된다.

여기서 f( · )는 비행체의 동역학을 나타내며, w(t)는 공분산 Q를 갖는 백색가우시안 잡음으로 불확실성을 반영한다.

레이다로부터의 측정은 표적의 상태를 거리, 방위각, 고각으로 변환한 형태로 식 (3)과 같이 주어지며, arg(x+jy)는 tan⁻¹ (y/x)로 사분면을 고려하여 −π~+π 범위의 각도를 제공한다.

x,y,z: 표적의 위치(m)

x_r,y_r,z_r: 레이다의 위치(m)

R_e: 지구 반경(m)

$\eta =1-\frac{1}{k_{factor}}$ : k-팩터 기반 지구 곡률 보정 계수

ν_R,ν_θ,ν_ϕ: 거리, 방위각, 고각 측정 잡음~Ν(0,σ²)

(gaussian measurement noise)

이와 같이 정의된 측정 모델은 단순한 기하학적 변환을 넘어, 곡률 효과를 명시적으로 포함하고 있어 수십 km 이상의 장거리 탐지에서도 정확도를 보장한다. 특히 방위각과 고각의 측정 분산은 레이다의 신호대잡음비(SNR)에 직접적으로 의존한다. 일반적으로 방위각 오차 분산은 식 (4)와 같이 근사할 수 있다.

여기서 β_θ와 β_ϕ는 각각 방위각 및 고각 빔폭(rad), c_θ와 c_ϕ는 실험적으로 결정되는 보정 상수(calibration constant)이다. 이는 곧, 표적의 SNR이 높을수록 각도 추정의 불확실도가 낮아짐을 의미한다. 이러한 관계식은 이후 확률 제약 기반 섹터 폭 계산에서 핵심적으로 활용된다. 앞서 정의한 상태-측정 모델은 칼만 필터(Kalman filter) 기반 추정을 가능하게 하고, 동시에 각도 추정 분산을 SNR에 연결함으로써 상위 층에서의 자동 팬스 폭 산출로 직결된다. 다시 말해, 시스템 모델 자체가 단순 궤적 예측을 넘어, 이후의 팬스 운용 최적화를 위한 기반 정보 구조를 제공하는 역할을 수행한다.

1층 팬스는 상층 계획의 기준을 형성한다. 목표는 1층 스윕 동안 펄스 단위로 표적을 관측하여 교차 시각 $t_{{\alpha }_1}$ 근방에서의 후단 추정치 ${\widehat{X}}_{{\alpha }_1\mid {\alpha }_1}$와 공분산 $P_{{\alpha }_1\mid {\alpha }_1}$을 얻는 것이다. 이 결과는 상층 중심 방위각 및 자원 분배 예측에 직접 적용되어, 확률 제약 기반 섹터 폭과 펄스 수가 자동으로 산출된다.

실제 운용에서는 1층 스윕을 $t_{{\alpha }_1}$중심으로 정렬해, 표적이 빔 중심을 통과할 때 빔 내(in-beam) 펄스 수가 최대가 되도록 시간을 배치한다. 빔 간격은 s_θ=(1-ov_θ)β_θ이고, 1층 섹터 폭 Δθ₁에서 빔 개수는 n₁=⌈Δθ₁/s_θ⌉이다. 한 빔 체류 시간은 τ_dwell=N_p,0/PRF로 두며, 스윕 전체 시간은 T_sweep=n₁τ_dwell이다. 여기서 PRF(pulse repetition frequency)는 초당 송출되는 펄스 주기(Hz)를 의미한다.

1층에서의 상태 추정은 이산 시간 칼만 필터로 표현하며, 시간 갱신과 측정 갱신은 식 (5) 및 식 (6)과 같다^[8],[9].

f( · ): 펄스 간 샘플링 시간에 대응하는 이산화 상태 천이

F_k−1=∂f_d/∂X: 상태 천이 야코비안

Q_k−1: 이산화된 공정 잡음 공분산 (모델 오차 포함)

h( · ): (R,θ,ϕ) 측정 비선형 변환

H_k=∂h/∂X: 측정 야코비안

R_k: 펄스 k에서의 측정 잡음 공분산 [R²,θ²,ϕ²]

Z_k: 펄스 k의 측정 벡터 [R,θ,ϕ]^⊤

여기서 1층 갱신의 중요 요소는 빔 내 펄스 선택과 SNR 의존 잡음 공분산이다. 실제로는 빔 중심과 빔 폭에 대해, 펄스가 빔 내에 있을 때만 갱신을 수행한다. 기하학적인 게이팅은 식 (7)과 같이 정의하며, 실제 갱신에 기여하는 유효 펄스 수 m_eff=∑g_k 가 결정되면서 후단 공분산의 수렴 속도에 직접적인 영향을 준다.

θ_k,ϕ_k: 펄스 k에서의 방위각/고각(rad)

θ_b,ϕ_b: 현재 빔 중심 방위각/고각(rad)

β_θ,β_ϕ: 3-dB 빔 폭(rad)

1( · ): 지시함수(참; 1, 거짓: 0)

측정 잡음 공분산은 펄스별 SNR에 따라 적응시킨다. SNR은 표준 단일 정방 산란체 가정하에 식 (8)과 같이 근사하며^[10], 각도 분산은 CRLB(추정 가능한 오차 분산의 이론적 최솟값) 근사식을 사용하여 식 (4)를 통해 모델링하였다. 또한 거리 분산의 경우 시스템 사양에 따른 상수 ${\sigma }_R^2$로 두어 식 (9)와 같이 모델링하였으며, 이때 ${\rho }_k^2$가 과도하게 작을 때의 수치 불안정성을 피하기 위해 ${\sigma }_{\theta ,k}^2,{\sigma }_{\varphi ,k}^2$는 적절한 상·하한으로 제한한다.

P_t: 송신전력(W), G: 안테나 이득(W/W)

λ: 파장(m), σ_rcs: 레이다 반사 단면적(m²)

R_k: 펄스 k에서의 슬랜트 거리(m)

κ: Boltzman’s constant [W/(Hz K)]

T₀: 시스템 잡음 온도(K), B: 수신 대역폭(Hz)

L_sys: 시스템손실(W/W)

한 펄스 갱신의 정보 증분은 $\Delta J_k=H_k^{\top }{R}_k^{-1}{H}_k$이며, 유효 펄스들이 누적되면 $J={\displaystyle {\sum }_{k:g_k=1}\Delta J_k}$가 커지고 P=J⁻¹이 감소한다. 여기서 ΔJ_k는 펄스 k의 피셔 정보 증분을 뜻한다. 결과적으로 $t_{{\alpha }_1}$근방에서 방위각의 주변 분산 ${\sigma }_{\theta ,1}^2$가 충분히 축소되고, 이는 상층 확률 제약 섹터 폭의 초기 조건을 유리하게 만든다.

마지막으로 1층에서의 탐지 확률은 자원 계획의 보조 지표로 활용된다. 스윕 중 특정 빔에 대해 인-빔 펄스들의 선형 SNR 평균을 $\overline{\rho }$라 하면, Swerling case-1을 가정으로 비결합(noncoherent) 추적의 근사적 탐지 확률은 식 (10)과 같이 표현할 수 있다.

여기서 κ는 파형·탐지기 상수(waveform/detector- dependent constant)로 해당 식은 시간 예산 기반 펄스 배분에서 단조·포화 특성을 갖는 목적함수로 쓰이며, 1층에서 확보된 유효 펄스 수 m_eff와 SNR는 상층에서의 펄스 증액 필요성을 정량화하는 근거가 된다.

이와 같이 1층에서는 시간 정렬된 스윕과 빔 내 펄스 선별, SNR 기반 측정 잡음 공분산, 펄스 단위 칼만 갱신을 통해 ${\widehat{X}}_{{\alpha }_1\mid {\alpha }_1}$와 $P_{{\alpha }_1\mid {\alpha }_1}$를 얻는다. 이 결과는 상층 교차 시각으로의 예측을 통해 상층 방위각 평균과 불확실도로 변환되고, 확률 제약 섹터 폭 산출과 시간 예산 기반 펄스 배분으로 연결된다.

추가적으로, 만약 초기 층에서 탐지가 실패할 경우, 시스템은 동일 층을 한 차례 재탐색하도록 설정하여 상층 운용이 전적으로 무력화되는 상황을 방지하였다. 또한 확률 제약 조건에서 커버리지 하한(pcov, min)을 두어 초기 실패 시에도 상층 운용이 일정 수준 이상 보장되도록 설계하였다.

1층에서 얻어진 추정치는 상층 팬스 운용의 기반이 된다. 특정 고각 α_L에서의 표적 교차 시각 $t_{{\alpha }_L}$를 고려할 때, 1층 후단 상태 ${\widehat{X}}_{{\alpha }_1\mid {\alpha }_1}$와 공분산 $P_{{\alpha }_1\mid {\alpha }_1}$은 예측 연산을 통해 상층 시각으로 전달된다. 이를 통해 상층에서의 평균 방위각 μ_θ,L과 불확실도 σ_θ,L가 결정되며, 이후 확률 제약 기반 섹터 폭 산출의 직접적인 입력으로 사용된다. 예측 단계는 이산화된 전이 ϕ(Δt)를 이용하여 식 (11)과 같이 표현된다.

${\widehat{X}}_{{\alpha }_L\mid {\alpha }_1}$ : α_L에서의 예측 상태(m, m/s)

$P_{{\alpha }_L\mid {\alpha }_1}$: α_L에서의 예측 공분산

ϕ(Δt): 상태 전이 행렬, $\Delta t=t_{{\alpha }_L}-t_{{\alpha }_1}$

(discretized state transition matrix)

Q_Δ: 시간 Δt 동안 누적된 공정 잡음 공분산(state²)

이때 방위각은 예측된 위치 ($\widehat{x},\widehat{y}$)로부터 결정되며, 평균값은 식 (12)와 같이 정의된다.

불확실도는 선형 근사에 기반하여 예측 공분산으로부터 도출된다. 방위각의 1차 테일러 전개에서 야코비안 J_θ는 식 (13)과 같으며, 방위각 분산은 식 (14)와 같이 근사된다.

상층에서의 팬스 폭은 단순히 하층의 일정 수준을 줄이는 방식이 아니라, 예측된 불확실도를 직접 반영하여 확률적인 형태로 산출된다. 이를 통해 상층으로 갈수록 탐지 실패 위험을 일정 수준 이하로 제어하면서, 불필요한 시간 자원 낭비를 줄이는 효과를 얻는다.

방위각 예측치는 확률 분포 ${\theta }_{\alpha ,L}~N\left({\mu }_{\theta ,L},{\sigma }_{\theta ,L}^2\right)$로 표현된다. 따라서 특정 확률 p_cov 이상으로 표적을 포함하도록 섹터를 설계하기 위해서는 정규분포의 역누적분포함수(ICDF, inverse cumulative distribution function) 계수 z_p=Φ⁻¹(p_cov)를 사용한다. 이때 반폭은 불확실도 항, 빔 반폭, 바이어스 보정 항을 합산하여 정의되며, 최종 섹터 폭은 식 (15)와 같이 주어진다.

z_p: 커버리지 확률 p_cov에 대응하는 정규분포 임계값

σ_θ,L: L층 예측 방위각 표준편차(rad)

β_θ: 방위각 3-dB 빔 폭(rad)

δ_bias: 오차 보상을 위한 여유항(rad)

이 식을 통해 다음과 같은 사항을 알 수 있다. 첫째, 불확실도 항 z_p σ_θ,L은 추정 공분산으로부터 직접 도출된 통계적 신뢰구간을 의미하며, 선택한 p_cov 값에 따라 레이다 운용자가 원하는 신뢰 수준을 보장할 수 있다. 둘째, β_θ/2 항은 빔 자체의 절반 폭을 포함하여, 이상적으로 표적이 빔 중심에 위치하지 않더라도 탐지 가능성을 유지한다. 셋째, δ_bias는 초기 큐의 편향이나 시스템 오차를 보정하는 추가 안전 여유를 제공한다. 결과적으로 불확실도와 레이다 물리 파라미터를 결합한 확률 제약 기반 자동 산출 결과가 된다.

계산된 섹터 폭을 기반으로 실제 운용에서 요구되는 빔 개수는 빔 간격을 고려하여 식 (16)을 통해 산출한다.

이와 같은 과정을 통해 각 층의 팬스는 표적을 일정 확률 이상으로 포함하도록 자동 설계된다. 특히, SNR이 충분히 크고 σ_θ,L가 작을 경우 Δθ_L는 좁아지고, 반대로 불확실도가 크면 폭이 넓어지는 적응적 운용이 이루어진다. 이는 기존의 기계적 폭 축소 방식과 달리, 상황에 따라 최적화된 폭을 보장함으로써 시간 자원의 낭비를 최소화하는 동시에 탐지 신뢰도를 유지할 수 있는 장점을 제공한다.

확률 제약 기반으로 산출된 섹터 폭 Δθ_L은 기존 베이스라인(예: 1층과 동일한 폭 유지) 대비 더 좁아진다. 이는 곧 스윕에 필요한 빔 개수와 전체 소요 시간의 감소를 의미하며, 절약된 시간을 상층의 펄스 증액에 활용할 수 있다. 시간 자원은 탐지 확률에 직접적으로 기여하므로, 이를 효율적으로 배분하는 것은 팬스 운용 최적화의 핵심 단계라 할 수 있다. 상층에서 절약된 총 시간(sec)은 식 (17)과 같이 정의된다.

N: 전체 팬스 층 수

$n_L^{base}$: 베이스라인에서의 L층 빔 개수

N_L: 제안 기법에서 산출된 L층 빔 개수

N_p,0: 빔당 기본 펄스 수

이 시간을 상층에 배분할 때, 단순히 균등 분배하는 방식도 가능하지만 탐지 확률을 극대화하기 위해서는 각 빔의 SNR을 고려하는 것이 합리적이며, 앞서 식(10)과 같이 정의하였다. 해당 식은 펄스 수에 따라 단조 증가하지만 포화 특성을 가지므로, 한정된 시간 내에서 전체 탐지확률 P_d를 최대로 하기 위해서는 워터필링(water-filling) 형태의 최적화가 적합하다.

최적화 문제는 식 (18)과 같이 정의되며, 여기서 ΔT_L은 팬스 L에 배정된 시간 예산이다.

N_p,b: 빔 b에 할당된 펄스 수

이 최적화 문제는 2차 함수 형태를 가지므로, 전체 탐지확률을 최대로 하는 해는 유일하게 결정된다. 이를 제약식과 함께 풀면, 중심 빔에는 더 많은 펄스가, 주변 빔에는 최소 펄스만이 할당되는 가우시안 분배 형태의 결과가 얻어진다. 최종적으로 각 빔에 할당되는 펄스 수는 식 (19)와 같이 정의되며, 여기서 λ는 라그랑주 승수(Lagrange multiplier determined by total time constraint)로 시간 제약 조건으로 결정된다.

해당 방법은 높은 SNR을 가진 빔에 더 많은 펄스를 배분하고, 낮은 SNR 빔에는 최소 펄스만을 배정하여 전체 탐지 확률을 효율적으로 끌어올린다.

팬스 운용의 본질은 단일 층에서 끝나는 것이 아니라, 상승 궤적을 따라 연속적으로 형성되는 여러 층에서 반복적으로 수행된다는 점에 있다. 제안된 방법론에서는 1층에서의 추정 결과를 2층으로 예측하고, 2층에서 도출된 관측을 다시 적용하여 불확실도를 축소한 뒤, 동일 절차를 3층 이상으로 확장한다. 이와 같은 재귀 구조는 그림 1과 같이 각 층에서 얻어진 정보가 상층 운용의 입력으로 이어지는 순환적인 관계를 형성한다.

실제 다기능 레이다의 운용 환경 적용 가능성을 보면, 본 논문에서 사용된 EKF는 펄스 단위 샘플링 기반의 소규모 상태 갱신 구조로서, 복잡도가 O(n²)로 복잡도가 낮고, 계산이 빠르다. 또한 워터필링 기반 펄스 최적화는 2차 목적함수와 선형 제약조건으로 구성되어 유일한 해가 존재하여 실제 다기능 레이다 운용 환경에서도 실시간 처리에 충분히 적합하다.