긴 구간 획득 데이터가 주어진 해상 클러터 환경에서 코히어런트 탐지

표적 성분과 클러터 및 잡음 성분이 존재하는 표적 영역에 주기 T로 N개의 펄스를 송수신하는 해양 레이다 시스템을 고려하자. n 번째 펄스를 송신한 후 j 번째 레인지 빈(range bin)에 있는 클러터 성분에 산란된 클러터 신호를 c_j [n]이라 하자. 이때 c_j [n]은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 ${\text{γ}}_{j,k}\left(k=-\frac{N}{2},\dots ,\frac{N}{2}-1\right)$는 텍스쳐와 스펙클 성분의 곱으로 이루어진 클러터의 복소 반사계수이다. γ_j,k는 사실상 c_j [n]의 푸리에 변환으로서 DFT(discrete fourier transform) 성질에 의해 k번째 도플러 주파수 $f_k=\frac{k}{NT}$에서의 반사계수이다. 식 (1)을 벡터 형태로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때 c_j는 c_j = [c_j [0], c_j [1], …, c_j [N−1]]^T로 정의된 N개 펄스에 대한 클러터 벡터이며, u_k는 도플러 주파수가 f_k인 도플러 조향 벡터를 의미하며, 다음과 같이 정의된다. (|u_k| = 1)

이때 잡음 신호 n_j가 복소 백색 잡음(complex additive white Gaussian noise)이라면 전체 간섭 신호 I_j는 c_j+n_j가 된다.

j 번째 레인지 빈에서의 간섭 신호에 대한 공분산 행렬 R_j는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때 H 연산자는 에르미트(hermite) 연산자를 의미한다. k≠l인 경우, 식 (4)의 u_k와 u_l은 서로 직교한다. 클러터 반사계수 집합 {γ_j,k}의 각 성분들은 서로 다른 주파수 성분에서의 반사계수로서 서로 독립적이기 때문에 다음 식 (5)가 성립한다^[14].

여기서 δ[·]는 델타함수를 의미한다. 식 (5)를 적용시키면 식 (4)는 다음과 같이 표현된다.

이때 ${\eta }_{j,k}^2$은 f_k에서의 클러터 파워 E[|γ_j,k |²]을 나타내며, σ²은 잡음 전력이고, I는 N차원 단위행렬(identity matrix)이다. 식 (6)의 공분산 행렬을 고윳값 분해하면 R_j의 고유 벡터(eigen-vector)들로 이루어진 행렬 U = [u₁, u₂, …, u_N]와 고유 벡터에 대한 고윳값(eigen-value)으로 이루어진 대각 행렬 Λ_j = diag{λ_j,1, λ_j,2, …, λ_j,N}가 정의된다.

적응 필터 설계 및 성능 유도를 위해 편의상 클러터가 k 축에서 [−p₁, …, p₂]에 존재한다고 하자. 이 경우, 식 (6)의 고윳값 λ_j,k는 다음과 같은 값을 갖는다.

j 번째 레인지 빈과 r 번째 도플러 빈에서 SINR이 최대가 되는 필터의 가중치 w_j,r은 다음과 같다^[15].

s_r은 크기가 1인 도플러 조향 벡터이고, 만약 r≠k인 경우, s_r과 u_k는 서로 직교하기 때문에 식 (8)은 다음과 같이 표현된다.

j 번째 레인지 빈에 클러터 성분 외에도 표적 성분이 존재한다고 하자. 표적의 반사계수가 ζ_j, 표적의 도플러가 f_q (k = q, −p₁≤q≤p₂)라고 하면 j번째 레인지 빈에서의 수신 신호 x_j는 다음과 같이 모델링할 수 있다.

R_j를 알고 있다면 또는 정확히 추정하였다면, 즉 식 (9)의 가중치가 주어졌다면 x_j에 대한 Max SINR 필터 출력 y_j,r는 다음과 같다.

여기서 ${\beta }_{j,q}=N{\eta }_{j,q}^2+{\sigma }^2$이다. 식 (11)에서 표적 신호 성분은 $\frac{\sqrt{N}{\zeta }_j}{{\beta }_{j,q}}$이고, 간섭 성분은 $\frac{\sqrt{N}{\text{γ}}_{j,q}+u_q^H{n}_j}{{\beta }_{j.q}}$이므로 정확한 R_j가 주어진 경우, 표적 도플러 빈에서의 SINR은 다음과 같이 계산할 수 있다.

레이다가 N개의 펄스를 송수신했으며, NT는 stationary를 보장할 수 없을 정도로 긴 시간 구간이라고 하자. 이 경우, NT 구간을 M개의 클러터 time-stationary가 보장되는 구간(보통 100 ms 이하)으로 나누어 구간별 처리/sub-processing을 수행할 수 있다. 각 구간의 크기는 다를 수 있으며, 인접한 구간 간의 데이터 오버랩(overlap)이 가능하다고 하자. 그러므로 i번째 구간의 데이터 개수가 N_i 라면 N_i T≤100 ms가 성립하며, 오버랩에 의해 N₁+N₂…+N_M≥N이 성립한다.

우선 N₁개의 수신 샘플을 갖는 첫 번째 구간 수신 신호 벡터 $x_j^{\left(1\right)}\left(N_1\times 1\right)$과 N₂개의 수신 샘플을 갖는 두 번째 구간 수신 신호 벡터 $x_j^{\left(2\right)}\left(N_2\times 1\right)$를 표적 도플러 빈(도플러 주파수 f_q)에서 코히어런트하게 합성하는 과정을 생각해 보자. 두 구간에서의 결과를 더하기 위해서는 도플러 해상도가 동일해야 하므로 각 sub-processing 구간의 샘플 개수가 동일하게 N_a(N_a ≥ N₁, N₂) 가 되도록 재구성하자. 이때 재구성된 sub-processing 샘플 신호 벡터 ${\tilde{x}}_j^{\left(1\right)}$과 ${\tilde{x}}_j^{\left(2\right)}$는 다음과 같다.

여기서 ${\tilde{x}}_j^{\left(1\right)}$과 ${\tilde{x}}_j^{\left(2\right)}$는 $x_j^{\left(1\right)}$과 $x_j^{\left(2\right)}$를 이용해서 재구성한 N_a×1의 크기를 갖는 신호 벡터이다. 식 (13)의 $n_j^{\left(1\right)}[\cdot ]$은 $x_j^{\left(1\right)}$에 포함된 잡음과 동일한 전력을 갖는 랜덤 잡음으로 $x_j^{\left(1\right)}$의 공분산 행렬을 고윳값 분해해서 추정할 수 있다. $n_j^{\left(2\right)}[\cdot ]$는 $x_j^{\left(2\right)}$를 이용해서 동일한 과정을 거쳐 생성할 수 있다.

$x_j^{\left(1\right)}$과 $x_j^{\left(2\right)}$의 첫 번째 두 샘플 값의 시간 차가 τ₂라 하자. 이때 두 구간 신호를 코히어런트 합성을 하기 위해서는 시간 차(τ₂)만큼 위상 보상을 해야 하며, 따라서 ${\tilde{x}}_j^{\left(2\right)}$는 다음과 같이 위상 보상되어야 한다.

${\tilde{x}}_j^{\left(1\right)}$과 ${\widetilde{x^{\prime }}}_j^{\left(2\right)}$에 대한 Max SINR 필터 출력 ${\tilde{y}}_{j,q}^{\left(1\right)}$과 ${\widetilde{y^{\prime }}}_{j,q}^{\left(2\right)}$는 다음과 같다.

식 (15)에서 두 샘플 구간 동안 표적 신호의 DOA (direction of arrival) 변화는 무시할 정도로 작으므로 표적의 반사계수는 ζ_j로 동일하다고 가정하였다. 그러므로 두 출력에서 표적 성분$\text{성분}\left(=\frac{\sqrt{N_a{\zeta }_j}}{{\beta }_{j,q}}\right)$ 크기와 잡음 전력(클러터 성분은 제외)은 두 구간에서 동일하므로, 즉 SNR(signal to noise ratio)은 동일하므로 두 출력을 합성할 때 EGC(equal gain combining)를 사용할 수 있다. 이때 더해진 신호 ${\tilde{y}}_{j,q}^{\left(1\right)}+{\widetilde{y^{\prime }}}_{j,q}^{\left(2\right)}$의 SINR은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\text{γ}}_{j,q}^{\left(1\right)}$과 ${\text{γ}}_{j,q}^{\left(2\right)}$는 서로 다른 수신 신호 ${\tilde{x}}_j^{\left(1\right)}$과 ${\widetilde{x^{\prime }}}_j{}^{\left(2\right)}$로부터 얻어진 클러터 반사계수이므로 서로 독립하고, 두 구간에서의 복소 잡음도 서로 독립이므로 식 (16)은 다음과 같이 변환될 수 있다.

식 (17)을 얻을 때 클러터 복소 반사계수와 잡음 랜덤 변수의 독립성에 의해 $E\left\{{\text{γ}}_{j,q}^{\left(1\right)}{\text{γ}}_{j,q}^{{\left(2\right)}^{*}}+{\text{γ}}_{j,q}^{{\left(1\right)}^{*}}{\text{γ}}_{j,q}^{\left(2\right)}\right\}=0,E\{u_q^H\left(n_j^{\left(1\right)}{n}_j^{{\left(2\right)}^H}+n_j^{\left(2\right)}{n}_j^{{\left(1\right)}^H}\right)u_q)=0$이 성립한다. 또한 클러터 스펙트럼은 급격히 변하지 않으므로 $E\left\{{\left|{\text{γ}}_{{}_{j,q}}^{\left(1\right)}\right|}^2\right\}\approx E\left\{{\left|{\text{γ}}_{{}_{j,q}}^{\left(2\right)}\right|}^2\right\}\approx n_{j,q}^2$을 가정하였다. 식 (12)와 식 (17)의 SINR을 비교해 보면 SINR 이 거의 2배가 되는 것을 확인할 수 있다.

전체 수신 신호 구간을 클러터의 time-stationary가 보장되는 M개의 sub-processing 구간으로 나누어 구간 별로 적응 필터를 통과시키고 코히어런트하게 합성한다면 최종 출력 신호의 SINR은 근사적으로 다음과 같다.

전체 데이터 수신 구간 동안 표적 반사계수 및 클러터 전력이 유사하다면 식 (18)은 $SINR\cong \frac{M{N}_a{\left|{\zeta }_j\right|}^2}{N_a{\eta }_{j,q}^2+{\sigma }^2}$이 되어 SINR이 한 구간에서 얻을 수 있는 값 대비 M배 개선됨을 알 수 있다. 식 (12) 및 식 (18)은 표적 도플러 빈에서의 SINR을 유도한 것이다.

레이다는 도플러 도메인에서 CFAR 알고리즘을 적용시켜 표적을 탐지해야 하며, 이때 적응 필터 출력은 클러터 억제뿐 아니라, 잡음 증가(enhance)를 최소화하는 것이 오 경보율(false alram rate)을 낮추는데 유리할 것이다. Sub-processing 과정이 표적 성분 크기를 유지하면서 잡음 성분을 억제하는데 효과적임을 다음과 같이 증명할 수 있다. 즉, 첫 번째 구간만을 처리해서 얻어진 표적 출력 전력 대 잡음 전력의 비를 SNR₁이라 하자. SNR₁은 식 (11)과 식 (15)를 이용해서 다음과 같이 계산된다.

긴 구간을 M개의 sub-processing 구간으로 나누어 코히어런트 EGC한 결과의 표적 출력 대 잡음 전력비 SNR_M은 다음과 같다.

즉, sub-processing을 하는 경우, 표적 성분의 출력 전력이 동일할 때 잡음 전력은 이론적으로 M배 낮출 수 있으며, ‘Ⅳ. 시뮬레이션’에서 이에 대한 결과를 보인다.