MIMO 레이다 환경에서 Polar Format Processing 기반 이동표적 이미징

그림 1은 M개의 송신기와 N개의 수신기를 이용해서 공중에 존재하는 이동 표적을 탐지 및 이미징하는 이차원 레이다 시스템을 나타낸다. 참고로 제안 레이다 시스템은 3차원으로 확장 가능하며, 수식의 단순화를 위해 2차원 레이다 환경으로 가정하였다.

x축은 지상을, y축은 고도를 나타내며, 표적 영역은 중심이 (X₁,Y₁₎이고, 반지름이 X₀인 원으로 표시되어 있으며, 표적 영역 내에 이동 표적이 존재한다. M개의 송신기 및 N개의 수신기는 공간 동기(space synchronization)가 이루어져 있어서 매순간 각각의 송수신기의 송수신빔은 동일한 표적 영역을 조향하고 있다고 가정하자.

m번째 송신기는 (x_Tm, y_Tm) (m1,2,...,M)에 위치해 있으며, m번째 송신기와 표적 중심 (X₁,Y₁)이 이 루는 각도 θ_Tm은 θ_Tm=arctan $\left(\frac{Y_1-y_{T_m}}{X_1-x_{T_m}}\right)$ 이 된다. 수 신기들은 (0,0)을 중심으로 x축 상에 있으며, n번째 수신기는 (u_n, 0) (n=1,2,...,N)에 위치해 있다. 그러므 로 n번째 수신기는 θ_un=arctan $\left(\frac{Y_1}{X_1-u_n}\right)$ 로 정해지는 θ_un 방향을 조향한다. 여기서 N개의 수신기는 디지털 빔포밍(beamforming)에 의해 수신 빔을 조향하는 것이 아니라, 각각의 수신기들이 독립적으로 (X₁,Y₁)방향으로 빔포밍을 한 것이다. 그러므로 배열 신호처리에서 요구되는 수신기 간 동일한 간격 조건은 적용되지 않는다.

다음은 m번째 송신기의 송신 펄스가 방사되어 표적 영역에서 산란된 후 n번째 수신기에 도달했을 때 수신신호 및 표적 영역의 반사계수 간의 관계를 유도한 과정이다.

(x_Tm, y_Tm)에 위치한 송신기에서 송신한 펄스가 (X₁+x, Y₁+y)에 위치한 산란점에 반사되어 수신기로 도달할 때, n번째 수신기에 수신된 수신신호 s_Tm (t, u_n)은 다음과 같이 표현된다.

여기서 c는 전파속도, p(t)는 송신신호, f(x, y)는 송신 펄스가 표적에서 반사되는 순간의 표적 반사계수, r(x, y)는 송신기-표적-수신기에 해당하는 경로 거리를 나타내며, 다음과 같이 표현된다.

여기서 r_Tm (x, y)는 송신기와 산란점 간의 거리,r_Tm (x, y) 는 산란점과 수신기 간의 거리를 나타낸다. 표적 산란점과 송수신단 간의 거리가 충분히 크다고 가정하면 r_Tm (x, y) 와 r_un (x, y)는 평면파 근사화를 적용하여 각각 다음과 같이 근사화 시킬 수 있다.

참고문헌 [6]에서는 r_Tm (x, y) 를 $\sqrt{{\left(X_1-x_{T_m}\right)}^2+{\left(Y_1-y_{T_m}\right)}^2}$ 로 근사화시켜 모노스태틱 환경으로 변환시켰었다. 식 (3) 및 식 (4)를 이용해서 r(x, y)를 얻은 후 식 (1)에 대입하면 s_Tm(t, u_n)를 계산할 수 있다. s_Tm(t, u_n)의 주파수 도메인 함수를 s_Tm(ω, u_n) 이라고 하면 이 신호는 다음과 같이 표현된다.

여기서 P(ω)는 p(t)의 퓨리에 변환이고, k는 $k=\frac{\omega }{c}$ 로 정의된 파수(wave number)로서 p(t)의 주파수 대역폭에 따라 k의 범위도 정해진다. F(·,·)는 f(x, y)의 x와 y에 관한 2차원 공간 스펙트럼 함수를 나타낸다. s_Tm(t, u_n)이 정합필터 P^* (ω)를 통과했을 때 식 (5)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (6)의 좌변 값, 즉 |P(ω)|²와 exponential term 안에 존재하는 변수는 주어진 값이므로 k를 변화시키면서 F(·,·)를 계산할 수 있다.

식 (6)은 하나의 송신 펄스에 대해 하나의 수신기에 수신된 신호가 공간 스펙트럼 (k_x, k_y) (여기서 k_x, k_y는 x와 y의 공간 주파수를 나타냄)에서 차지하는 영역을 나타낸다. 즉, 하나의 수신기에 얻어진 샘플 신호는 (k_x, k_y) 평면에서 하나의 line segment 상의 샘플 값(k에 따라 정해짐)에 대응되며, 수신기가 N개 존재할 경우 N개의 line segment 상에 있게 된다. 만약 M개의 송신기 신호들을 각 수신기에서 분리할 수 있다면 표적 신호 샘플들은 MN개의 line segment 상에 있게 된다. MN개의 line segment 상의 표적 신호 샘플 값들은 rectangular grid에 인터폴레이션(interpolation)된 후 2차원 역퓨리에 변환을 통해서 표적 영상의 반사계수 f(x, y)을 얻을 수 있다. Rectangular grid의 간격 △_grid는 복원 영상 크기에 의해 결정되며, 퓨리에 변환(Fourier transform) 이론에 의해 다음 조건을 만족해야 한다.

인터폴레이션 오차를 최소화하기 위해서는 (k_x, k_y)평면에서 샘플 값들 간의 거리는 가까울수록 좋고 복원 영상의 해상도가 좋아지기 위해서는 샘플 값들이 차지하는 범위가 넓을수록 좋다. 위 두 가지 조건을 달성시키기 위해 송신기들의 배치를 효과적으로 하는 것이 필요하며, 이것은 (k_x, k_y)평면에서 MN개의 line segment들의 위치와 관련이 있다. 이해를 돕기 위한 예시로 4개의 송신기 와 3개의 수신기가 있고, 수신기간 이격이 큰 MIMO 레이다 환경을 가정하자. 이 경우 표적 신호 샘플들은 12개의 line segment 상에 있게 된다. 각 line segment들의 위치는 대응되는 송수신기 조향 각도 θ_Tm, θ_un 과 관련이 있으며, 정확히는 조향 각도만큼 두 번 회전된 위치에 있게 된다. 그러므로 4개의 θ_Tm 평균값 및 3개의 θ_un의 평균값에 해 당하는 각도만큼 반대 방향으로 line segment들을 회전시키면 line segment들의 위치는 그림 2와 같이 만들 수 있다. 그림 2는 송신기들이 이상적으로 배치된 경우의 (k_x, k_y) 평면에서 MN개 즉 12개의 line segment들을 보여준다. 즉, 첫 번째 송신기에 대응하는 수신 신호 샘플들은 사잇각이 큰 3개의 line segment 상에 있으며, 두 line segment 사이에 다른 두 송신기에 의한 line segment들이 균등하게 위치하도록 하였다. 이것은 한 개의 송신기와 12개의 수신기가 있는 경우, 표적 신호 샘플들의 line segment 분포를 닮게 된다. 그림 2에서 수직 방향의 샘플 간격은 k의 해상도에 따라 정해지며, 수평 방향의 샘플 간격은 송수신기 배치에 의해 결정된다. 이상적인 송신기 배치는 다음 과정을 통해서 유도할 수 있다.

n번째 수신기와 m번째 송신기에 의해 얻어지는 line segment의 위치 (k(cosθ_un+cosθ_Tm), k(sinθ_un+sinθ_Tm)) 와 n번째 수신기 m+1번째 송신기에 의해 얻어지는 line segment의 위치 (k(cosθ_un+cosθ_Tm+1)), k(sinθ_un+sinθ_Tm+1))간의 간격이 Nyquist 샘플링 이론을 적용해 보면 △_grid보다 같거나 작아야 하며, 이는 다음과 같은 수식으로 표현될 수 있다.

예를 들어 송신기들이 지상(y_Tm+1 =0)에 위치할 경우, 식 (8)을 정리하면 다음 식을 얻을 수 있다.

식 (9)는 θ_Tm과 관련있는 m번째 송신기 위치 x_Tm가 주어진 경우 허용 가능한 m+1번째 송신기의 위치 x_Tm+1 )에 대한 조건으로 x_Tm+1이 조건에 충족하지 못하면 복원 영상에 앨리어싱 현상이 포함될 수 있다.

제시된 레이다 시스템이 성공적으로 동작하기 위해서는 각 송신기가 송신한 신호를 수신단에서 분리할 수 있어야 한다. 이를 위해서는 두 가지 방법 적용이 가능하다. 첫 번째 방법은 송신기들이 서로 직교 특성을 갖는 신호를 동시에 송신하고, 수신단에서 직교성을 이용해서 각각을 분리하는 것이다. 즉, 완전한 MIMO 시스템을 구현하는 것으로 이 경우에는 직교성이 깨지지 않도록 송신기들 간에 시간 동기가 필수적이며, 또한 각 송신기에 따른 전파 이동 시간(travel time)의 차이가 거의 없어야 한다. 두 번째 방법(이하 virtual MIMO라고 명명할 것임)은 시간적으로 송신기별 표적신호들을 분리하는 것이다. 본 논문에서 제안한 시스템의 경우 송신기군과 수신기군이 분리되어 있어서 복잡한 직교 신호를 만들어 낼 필요 없이 두 번째 방법 적용이 용이하다. 즉, m번째 송신기가 t_m=t₀+(m-1)T₀ (m:1,...,M, T₀:상수) 순간에 송신하고, 시간 동기가 이루어진 N개의 수신기들이 구간 [t_m+α,t_m+β] (여기서 α, β는 각각 표적 영역에 의해 결정되는 최소, 최대 전파 이동시간을 나타냄)에서의 표 적 신호만 수신한다면 각 송신기들에 의한 표적 신호를 분리시킬 수 있다. 여기서 β-α는 $\frac{2X_0}{c}$ 에 해당하는 매 우 작은 값이며, T₀ 크기를 β-α 이상만 하면 된다. 하지만 송신기들이 시간 다중화(time-division multiplexing)를 해서 펄스를 송신해도 전체 송신 시간 동안에 이동 표적은 거의 정지해 있다고 가정할 수 있도록 T₀값이 커져서는 안 되며, M도 지나치게 커서는 안 된다.

Ⅱ절 시작부터 지금까지는 정지 영상으로 가정할 수 있는 이동 표적 영상을 얻는 과정을 설명하였다. 클러터성분이 크지 않은 환경에서 제시된 방법은 성공적으로 한 순간의 이동 표적 이미징이 가능하다. 제시된 시스템(MIMO 및 virtual MIMO)에 DPCA(displaced phase center antenna) 기법이 추가된다면 클러터 성분이 큰 레이다 환경에서 클러터를 억제하면서 이동 표적을 이미징하는데 적용할 수 있다. Virtual MIMO 시스템을 예로 들어보면 M개의 송신기들이 펄스 송신을 마치고 PRI(pulse repetition interval)시간이 경과한 후 다시 M개의 송신기들이 펄스 송신 과정을 반복한다. 이 경우, 수신기들은 두 번의 표적 영역에 대한 영상 획득이 가능하며, 두 영상을 빼줌으로써 클러터 제거 및 이동 표적영상의 획득이 가능하다. 즉, m번째 송신기는 t_m에 첫 번째 펄스를 송신하고, t_m+T₁ (T₁:상수)에 두 번째 펄스를 송신한다. 이때 T₁은 MT₀보다는 충분히 커야 하며, 특히 복원된 두 영상을 빼주었을 때 정지 클러터만 제거되도록 T₁동안 이동 표적의 위치가 충분히 바뀌어야 한다. 또한 빼서 얻어진 영상에는 정지 클러터는 제거되나, 이동 표적의 경우 서로 다른 두 순간의 표적 영상이 존재하게 된다. 즉, PRI 및 표적 이동속도가 작은 경우는 영상의 퍼짐을 일으키고, PRI 및 표적 이동속도가 큰 경우는 한 표적이 두 개 표적처럼 보이게 되는 현상이 발생하며, 이를 보상하기 위해서는 이동 표적의 속도 추정 과정이 필요하나, 이는 또 본 연구의 범위를 벗어난 다른 주제이므로 이는 다루지 않는다.