다중 주파수를 이용한 다수 표적분포의 중심각 추정

Ⅰ. 서 론

한 개의 분해영역(resolution cell) 안에 여러 개의 미분해(unresolved) 표적들이 존재할 때 이들 표적의 중심점(centroid)의 각도(elevation, azimuth angles)를 찾는 문제는 근접방어 무기체계(closed-in-weapon system: CIWS) 운용에 필요하다(여기서 분해영역이란 양자화된 거리 혹은 도플러가 다른 값을 갖는 셀을 의미한다). 즉 사전에 가상표적을 향하여 실제로 대응탄들(bullets)을 2-3초간 발사한 후 대응탄들의 중심점의 각도(중심각)가 가상표적의 각도와 일치하도록 포신을 정렬(gun laying)하여야 한다^[2],[3]. 이와 같은 사전정렬(pre-action calibration)에는 모노펄스 추적레이다를 이용하여 대응탄들의 중심각을 정확히 추정하는 작업이 필요하다. 그림 1에 가상표적의 각도, 같은 분해영역 안에 존재하는 대응탄들의 각도 및 대응탄들의 중심각을 각각 네모, 원 및 “x”로 표시하였다. 사전정렬 수행 후에는 조준오차(aimi error)가 0이 된다(Δϵ = 0).

그림 1. | Fig. 1. 대응탄각도(‘o’), 대응탄중심(‘x’)과 가상표적(‘□’)의 각도. 조준오차 = |‘□’-‘x’| | Angles of bullets(circle), bullet centroid(cross) and virtual target(square). aim error=|square-cross|.

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모노펄스 방식을 사용하면 한 개의 분해영역 안에 존재하는 단일표적의 각도를 추정할 수 있다. 한 개의 분해영역 안에 두 개 이상 다수의 표적이 존재할 경우는 각각 표적들의 각도를 찾아서 이들 각도의 평균을 계산하여 중심각을 얻을 수 있다. 이때 표적 각각의 각도를 찾는 작업은 일반적인 모노펄스 방식으로는 불가능하고, MLE (maximum likelihood estimator) 등, 많은 계산량이 필요한 다중안테나 신호처리 기법을 사용하여야 한다^[4],[5].

하지만 한 개의 분해영역 안에 두 개 이상 다수의 표적이 존재할 경우에 모노펄스 기법을 사용하여(한 개의) 각도를 구하면 평균적으로 다수표적의 중심각을 준다는 사실이 알려져 있어서^[1], 굳이 계산량이 많은 다중안테나 신호처리 기법을 사용하지 않고도 모노펄스 추적레이다로 근접방어시스템의 사전정렬을 수행할 수 있다.

본 논문에서는 모노펄스를 이용한 중심각 추정에 있어서 다중주파수를 사용하여 평균을 취하면 단일 주파수를 사용하여 평균을 취한 경우보다 중심각 추정이 정확함을 모의실험을 통하여 보였다.

Ⅱ. 모노펄스를 이용한 중심각 추정

모노펄스 원리는 그림 2로 설명할 수 있다. 간격이 d인 두 개의 안테나로 얻은, 붉은 점(solid circle)으로 표시된 한 개의 대응탄에 의한, 잡음이 없는 측정값을 각각 z₀=1, z₁=e^ju라고 하자. 여기서 u=kdsinθ, k=2π/λ 이다. 이때 합/차 신호를 각각 Σ=z₀+z₁,Δ=z₀-z₁라고 하면, 모노펄스비 A는 식 (1)과 같이 정의된다^[6].

그림 2. | Fig. 2. 두 개의 안테나를 이용한 각도 추정 | Angle estimation with two antennas.

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식 (1)에서 A는 순허수, 즉 Im(A)=−tan(u/2) 임을 알 수 있다. 그러므로 식 (1)을 u에 대하여 풀면

와 같이 되고, 측정한 z₀, z₁로부터 식 (2)를 이용하여 한 개의 대응탄의 각도 θ를 얻을 수 있다. 측정치 z₀, z₁에 잡음이 있을 경우, 위 식 (2)로 얻은 각도는 근사적으로 MLE임이 알려져 있다^[7].

만약 그림 2에 보인 바와 같이 다수의 대응탄들(붉은 점 및 붉은 원)이 존재할 경우에 z₀, z₁를 구하여 식 (2)로부터 각도 θ를 구하면 이 각도는 대응탄들의 중심각이 됨이 알려져 있다^[1]. 이 경우 물론 모노펄스 비 A는 순허수가 아니고, 실수부도 가지게 되며, |Re(A)|를 이용하여 두 개 이상의 표적이 존재하는지 판별하는 방법도 연구되었다^[6].

본 논문이 새롭게 기여하는 바는 다음과 같다.

이제 대응탄 m까지 거리가 r_m이고, 거리변화율이 ${\dot{r}}_m$이라고 하자. 또한 하나의 burst안에 N개의 펄스가 있고, PRI(pulse repetition interval)가 T라고 하면 펄스 n일 때 대응탄 m 까지의 거리는

로 주어진다. 여기서 r_0m는 펄스 1일 때 대응탄 m까지 거리이다. 또한 매 펄스마다 주파수가 Δf씩 증가한다면 n 번째 펄스 때 수신신호 위상은

가 되고 대응탄 m에 대한 두 안테나의 측정값은

가 된다. 그러므로 M개 전체 대응탄에 대한 두 안테나의 측정값은 다음과 같다.

여기서 위의 변수들은 다음과 같이 정의된다.

그러므로 식 (6)을 이용하여 두 안테나에서 측정값 z₀, z₁을 모사하고, 식 (2)로 중심각을 추정한다.

Ⅲ. 모의실험 결과

그림 3은 M=4, Δ f=0의 경우, 측정잡음이 없을 때 중심각 추정오차를 송신 주파수 f₀ 에 대하여 그린 그래 프이다. 사용한 파라메터는 표 1과 같다. 여기서 표적까지의 거리 r은 상대값만 위상에 영향을 주므로 편의상 작은 값을 사용하였다. 그림 3에서 추정오차(error)는 주파수 f₀ (Δ f = 0)에 따라 변하는데, 그 이유는 위상 φ_m이 주파수의 함수이기 때문이다. 또한 추정오차가 클때 |Re(A)|도 큰 값을 가지므로 Re(A)를 추정 정확도를 알려주는 표지(indicator)로 사용할 수 있다.

그림 3. | Fig. 3. Re(A), 추정오차 vs 송신주파수 | Re(A), estimation error vs frequency.

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그림 4∼그림 7은 1,000번의 시행으로 얻은 결과이고, 사용한 파라메터는 표 2와 같다. 여기서 U[a, b]는 a,b사이 균일(uniform) 확률분포를 의미한다.

그림 4. | Fig. 4. 동일한 속도의 대응탄에 대한 RMSE vs SNR | RMSE vs SNR for same speed bullets.

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그림 4는 동일한 속도의 대응탄들에 대하여 동일한 주파수와 다중 주파수를 사용하였을 때 추정한 중심각의 root mean squared error(RMSE) 값을 signal-to-noise(SNR)

에 대하여 도시한 그래프이다. 동일한 주파수의 경우, SNR이 높아지면 오히려 오차가 커지는 경향이 있다.

그림 5에 대응탄들이 다른 속도를 가질 경우, 추정한 중심각의 RMSE를 SNR에 따라 도시하였다. 그림 4와 비교하여 특히 동일한 주파수의 경우, 오차가 줄어 듦을 알 수 있다.

그림 5. | Fig. 5. 다른 속도 대응탄에 대한 RMSE vs SNR | RMSE vs SNR for different speed bullets.

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그림 6은 대응탄들이 같은 속도를 가질 경우, 동일한 주파수와 다중 주파수를 사용하였을 때 추정한 중심각의 RMSE를 펄스 개수에 따라 비교한 그래프이다. 펄스개수가 많아질 때, 다중 주파수를 사용하면 오차가 줄어들지만, 동일한 주파수를 사용하면 오차에 변화가 없음을 알 수 있다. 공평한 비교를 위하여 전체 대역폭을 동일하게 150 MHz로 두었다.

그림 6. | Fig. 6. 같은 속도 대응탄에 대한 RMSE vs N | RMSE vs N for same speed bullets.

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그림 7은 대응탄의 속도가 다를 경우, 추정한 중심각의 RMSE값을 보였다. 펄스개수가 많아지면 동일 주파수, 다중주파수 모두 오차가 작아진다.

그림 7. | Fig. 7. 다른 속도 대응탄에 대한 RMSE vs N | RMSE vs N for different speed bullets.

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Ⅳ. 결 론

모노펄스를 이용한 다수표적의 중심각 추정에 있어서 다중주파수를 사용하면 추정각도의 RMSE가 크게 줄어드는 것을 모의실험을 통하여 보였다. 본 결과는 CIWS 포의 사전정렬에 사용할 수 있다.