케이블 공통모드 전류에 의해 유기된 도체판 위 슬롯의 전자기장 방사 해석 모델

Ⅰ. 서 론

도체판 위의 개구면(aperture)이나 슬롯(slot)에 의한 전자기장 결합현상은 EMI/EMC 분야에서 매우 중요한 문제이다. 외부 전자기파가 슬롯을 통해 케이블(cable)에 유기되거나, 반대로 케이블에 흐르는 공통모드 전류가 슬롯을 통해 방사되는 현상은 각각 전자파 내성과 전자파 간섭의 전형적인 사례이기 때문이다. 특히 전자기기의 동작속도가 점점 빨라지면서 내부 케이블에 흐르는 공통모드 전류는 전자기기의 함체 표면에 놓인 긴 슬롯을 통해 외부로 전자기장을 잘 방사시켜 EMI 문제의 주요 원인이 된다. 지금까지 이러한 문제를 해석하기 위해서 모멘트법과 같은 수치해석기법들이 많이 적용되었다^[1],^[2]. 본 논문에서는 도체판 위 슬롯을 통한 케이블 공통모드 전류의 전자기장 방사를 예측할 수 있는 해석적인 모델을 제안하고자 한다. 해석적인 해는 수치해석방법에 비해 훨씬 빠른 계산이 가능하며, 또한 물리적 구조가 전자기장 방사에 어떠한 영향을 주는지 직관적으로 알 수 있는 장점이 있다.

Ⅱ. 해석적인 해의 유도

그림 1에서 보듯이 x축 방향의 무한 길이를 갖는 케이블은 슬롯의 중심으로부터 수평거리 d와 수직거리 h 만큼 떨어진 곳에 놓여있는 선전류 I로 모델링하였다. 슬롯의 길이는 L이고, 폭은 W이며, z축으로 길게 놓여 있다. 이렇게 가정한 이유는 케이블과 슬롯의 길이 방향이 서로 수직을 이룰 때 전자기 결합이 가장 크게 일어나기 때문이다. 그림 2에서 보듯이 케이블의 공통모드 전류가 도체판 위 슬롯을 통해 방사하는 문제는 선전류에 의해 유기된 슬롯 중심에서의 등가 자기쌍극자 모멘트에 의한 방사 문제로 근사할 수 있다.

그림 1. | Fig. 1. 무한 도체판 위 긴 슬롯을 통한 케이블 전류의 전자기장 방사 문제 | Problem of electromagnetic radiation of cable current throuth a slot on conducting plane.

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그림 2. | Fig. 2. 등가 문제 | Problem of electromagnetic radiation of cable current throuth a slot on conducting plane.

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슬롯의 길이 방향으로 유도되는 자기쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다^[3].

여기서 χ_mz는 z축 방향의 자기 분극률(polarizability)로 직사각형 모양의 슬롯에서는 다음과 같다^[4].

그리고 H_z는 도체판이 없을 때 선전류에 의한 슬롯 중심에서의 자기장 세기이며, 다음과 같이 주어진다.

따라서 식 (2)와 (3)을 식 (1)에 대입하면 긴 슬롯에 유기된 등가 자기쌍극자 모멘트는 다음과 같다.

식 (4)에서 알 수 있듯이, 케이블의 전류가 커지거나 슬롯의 중심과 선전류 사이의 직선거리$\left(\sqrt{d^2+h^2}\right)$가 감소하면 유도되는 자기쌍극자 모멘트의 세기는 증가하며, 슬롯의 크기에 의해서도 자기쌍극자 모멘트의 세기가 변화한다.

도체판 반대편(y≥0)의 임의의 점(r, θ)에서의 방사자기장은 슬롯의 중심에 놓인 자기쌍극자 모멘트에 의한 방사 자기장으로 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

여기서 $k=w\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}$는 위상상수, w는 각주파수이다.

따라서 원역장 영역에서 방사 자기장은 다음과 같다.

식 (6)은 자기쌍극자 모멘트에 의한 방사 자기장으로 저주파수 영역에서는 유효하지만, 슬롯의 첫 번째 공진주파수 이상의 고주파수 영역에서는 유효하지 않다. 따라서 고주파 영역에서의 방사 모델을 유도하기 위해서 본 논문에서는 다음과 같은 슬롯 중심에 전압 V₀가 인가된 슬롯 안테나의 방사 수식을 응용하였다^[5].

여기서 ${\eta }_0=\sqrt{{\mu }_0/{ϵ}_0}$이다. 고주파수 영역에서 주파수에 따른 방사 패턴에 영향을 주는 것은 식 (7)의 괄호 부분이므로 식 (6)과 연결하여 방사 자기장 수식을 슬롯의 공진주파수 f_r을 기준으로 저주파수 대역과 고주파수 대역에서 다음과 같이 나누어 표현하였다.

식 (8)에서 식 (7)의 괄호 부분에 해당되는 부분의 분모에 kL를 추가하였는데, 이는 선전류로부터 슬롯 중심에 유기되는 전압의 함수관계가 주파수에 반비례하기 때문이다. 이는 수치해석을 통해 확인하였다.

방사 전기장은 방사 자기장으로부터 계산될 수 있다.

Ⅲ. 수치해석을 통한 검증

앞 절에서 유도한 방사 전자기장에 대한 해석적인 해의 정확도를 검증하기 위해서 CST-MWS(이하 CST)^[6]를 이용한 해석결과와 비교하였다. CST해석모델은 그림 1과 동일한데, 다만 무한히 긴 선전류는 슬롯의 크기와 거리에 비해 충분히 큰 길이 4 m, 너비 3 m의 직사각형 루프 구조로 모델링하였다. I=1 A일 때, y축상(θ=90⁰)의 r=3 m에서 방사 전기장을 계산하였다.

그림 3에서는 슬롯의 길이(L)가 570 mm, 400 mm인 경우에 방사 전기장에 대한 해석적인 해와 CST해석결과를 비교하였다. 두 경우 모두 슬롯의 길이가 반파장이 되는 공진주파수에서 전기장이 최대값을 가진다. 식 (8)에서도 알 수 있듯이, 방사 전기장은 공진주파수를 기준으로 저주파수에서는 +40dB/decade로 증가하고, 고주파수에서는 −20dB/decade로 감소한다. 또한 슬롯의 길이가 줄어들면 방사 레벨이 감소함을 알 수 있다.

그림 3. | Fig. 3. 슬롯의 길이 L에 따른 방사 전기장 비교 (W=20 mm, d=200 mm, h=0 mm) | Comparison of radiated E-field in terms of L (W=20 mm, d=200 mm, h=0 mm).

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그림 4에서는 슬롯의 폭(W)이 10, 20, 40 mm로 변화할 때 방사 전기장의 변화를 비교하였다. W가 증가함에 따라 방사 레벨도 조금씩 증가하였고, CST해석결과도 유사한 경향으로 나타났다. 하지만 공진주파수에서 CST해석결과는 W에 상관없이 방사 레벨이 거의 일정한 반면, 해석적인 해는 W가 작아짐에 따라 방사 레벨이 조금씩 감소하였다. 이는 해석적인 해가 공진주파수에서 정확한 방사 레벨을 예측하는데 한계를 가짐을 의미한다.

그림 4. | Fig. 4. 슬롯의 폭 W에 따른 방사 전기장 비교 (L=570 mm, d=200 mm, h=0 mm) | Comparison of radiated E-field in terms of W (L= 570 mm, d=200 mm, h=0 mm).

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그림 5에서는 케이블의 위치에 따른 방사 전기장의 변화를 비교하였다. 슬롯의 중심으로부터 케이블의 수평거리 d가 100 mm에서 400 mm로 증가할 때, 해석적인 해는 100 MHz에서 방사 레벨이 약 12 dB 정도 감소하였다. 이는 식 (4)로부터 슬롯에 유도된 자기쌍극자 모멘트의 크기가 h가 0인 경우, d에 반비례하기 때문에 d가 4배로 증가하면 −20log₁₀(4)≒−12.04 dB 만큼 감소함을 알 수 있다. 반면, CST해석결과에서는 약 10 dB 정도 감소하였다. 그림 5(b)에서는 d=h=282.8 mm인 경우의 CST해석결과도 비교하였다. 이는 h=0이고, d=400 mm일 때의 직선거리와 동일한 경우이다. 이 두 경우의 방사 전기장이 거의 일치함을 알 수 있다. 이러한 사실은 앞서도 얘기했지만, 직접 계산을 안 해도 해석적인 해에서는 식 (4)를 통해서 바로 확인할 수 있는 것이다.

그림 5. | Fig. 5. 케이블의 위치에 따른 방사 전기장 비교 (L=570 mm, W=20 mm) | Comparison of radiated E-field in terms of the position of cable(L=570 mm, W=20 mm).

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Ⅳ. 결 론

본 논문에서는 도체판 위 슬롯을 통한 케이블 공통모드 전류의 전자기장 방사를 예측할 수 있는 해석적인 모델을 제안하였다. 제안한 방사 전자기장의 해석적인 해는 CST해석을 통해 검증하였고, 수 GHz 대역까지 두 결과가 잘 일치함을 확인하였다.